Fraction algébrique

Dans la fraction algébrique ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ Le dividende a est appelé le numérateur et le diviseur b est appelé le dénominateur.

Une fraction complexe est une fraction dont le numérateur ou le dénominateur, sont eux mêmes des fractions. Contrairement aux fractions simples, qui ne contienent aucune fraction ni au numérateur ni au dénominateur.

Une fraction est dite irréductible si le seul facteur commun au numérateur et au dénominateur est 1.

Si les expressions a et b sont des polynômes, la fraction algébrique ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ est appelée fraction algébrique rationnelle (ou fraction rationnelle ou expressions rationnelles)^[1],[2].

En notant deg le degré du polynôme, la fraction rationnelle ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$ est dit propre si ${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$ et impropre dans le cas contraire.

Toute fraction rationnelle impropre peut être exprimée comme la somme d'un polynôme (éventuellement constant) et d'une fraction rationnelle propre. Cette décomposition est obtenue par division euclidienne des pôlynomes. On a par exemple :

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

Une fraction est dite irrationnelle si l'un de ses termes contient une variable sous un exposant fractionnaire^[3]. Un exemple de fraction irrationnelle est

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

La tranformation d'une fraction irrationnelle en une fraction rationnelle est appelé rationalisation . Toute fraction irrationnelle dont les radicaux sont des monômes peut être rationalisée. Pour ce faire il faut trouver le plus petit commun multiple des exposants, puis opérere un changement de variable. Dans l'exemple, le plus petit commun multiple est 6, remplacer ${\displaystyle x=z^{6}}$ permet d'obtenir :

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

• Décomposition en éléments simples