Fraction continue de Rogers-Ramanujan

Étant données les fonctions G(q) et H(q) apparaissant dans les identités de Rogers-Ramanujan,

${\displaystyle {\begin{aligned}G(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\&={\sqrt[{60}]{qj}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {19}{60}};{\tfrac {4}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\sqrt[{60}]{q\left(j-1728\right)}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {29}{60}};{\tfrac {4}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}}$

et

${\displaystyle {\begin{aligned}H(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}j^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {31}{60}};{\tfrac {6}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}\left(j-1728\right)^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {41}{60}};{\tfrac {6}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned}}}$

où ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$ représente le q-symbole de Pochhammer infini, j est le j-invariant, et ₂F₁ est la fonction hypergéométrique (les coefficients des développements en séries entières forment les suites de l'OEIS  A003114 et  A003106, respectivement), la fraction continue de Rogers-Ramanujan est

${\displaystyle {\begin{aligned}R(q)&={\frac {q^{\frac {11}{60}}H(q)}{q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}}=q^{\frac {1}{5}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

Si ${\displaystyle q=e^{2\pi {\rm {i}}\tau }}$, alors ${\displaystyle q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}$ et ${\displaystyle q^{\frac {11}{60}}H(q)}$, ainsi que leur quotient ${\displaystyle R(q)}$, sont des fonctions modulaires de ${\displaystyle \tau }$. Comme elles ont des coefficients entiers, la théorie de la multiplication complexe implique que leurs valeurs, lorsque ${\displaystyle \tau }$ est de la forme ${\displaystyle i{\sqrt {p/q}}}$, sont des nombres algébriques qui peuvent être calculés explicitement.

${\displaystyle R(q)}$ peut s'exprimer à l'aide de la fonction êta de Dedekind, une forme modulaire de poids 1/2, car on a (en posant ${\displaystyle q={\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \tau }}$)^[2] :

${\displaystyle {\frac {1}{R(q)}}-R(q)={\frac {\eta ({\frac {\tau }{5}})}{\eta (5\tau )}}+1}$

${\displaystyle {\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11}$

Parmi les nombreuses relations vérifiées par le j-invariant, on a

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x^{2}+10x+5)^{3}}{x}}}$

où

${\displaystyle x=\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right]^{6}}$

Éliminant le quotient, on peut exprimer j(τ) en termes de ${\displaystyle r=R(q)}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}&j(\tau )=-{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\\[6pt]&j(\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^{5}+1)^{2}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\end{aligned}}}$

où le numérateur et le dénominateur sont des invariants polynomiaux de l'icosaèdre. La relation modulaire entre ${\displaystyle R(q)}$ et ${\displaystyle R(q^{5})}$ a pour conséquence

${\displaystyle j(5\tau )=-{\frac {(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^{5}+1)^{3}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}}$

Soit ${\displaystyle z=r^{5}-{\frac {1}{r^{5}}}}$ ; alors

${\displaystyle j(5\tau )=-{\frac {\left(z^{2}+12z+16\right)^{3}}{z+11}}}$

où

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{\infty }=-\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{0}=-\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{1}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +2}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\\[6pt]&z_{2}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +4}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{3}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +6}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{4}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +8}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11\end{aligned}}}$

ce qui est le j-invariant de la courbe elliptique ${\displaystyle y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y=x^{3}+r^{5}x^{2}}$, paramétrée par les points réguliers de la courbe modulaire ${\displaystyle X_{1}(5)}$.

On pose désormais systématiquement ${\displaystyle r(\tau )=R(q)}$, avec q = e^2πiτ. Là où d'autres fonctions modulaires, par exemple le j-invariant, vérifient :

${\displaystyle j(-{\tfrac {1}{\tau }})=j(\tau )}$

et qu'on a pour la fonction êta de Dedekind :

${\displaystyle \eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau )}$

l'équation fonctionnelle de la fraction continue de Rogers–Ramanujan met en jeu^[3] le nombre d'or ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ :

${\displaystyle r(-{\tfrac {1}{\tau }})={\frac {1-\phi \,r(\tau )}{\phi +r(\tau )}}}$.

On a d'autre part ${\displaystyle r({\tfrac {7+i}{10}})=i}$.

Il y a des relations modulaires entre ${\displaystyle R(q)}$ et ${\displaystyle R(q^{n})}$, particulièrement élégantes pour certaines petites valeurs premières de n^[4] :

Soit ${\displaystyle u=R(q)}$ et ${\displaystyle v=R(q^{n})}$ ; alors :

Pour ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle v-u^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.}$

Pour ${\displaystyle n=3}$, ${\displaystyle (v-u^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.}$

Pour ${\displaystyle n=5}$, ${\displaystyle (v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)v=(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1)u^{5}.}$

Pour ${\displaystyle n=11}$, ${\displaystyle uv(u^{10}+11u^{5}-1)(v^{10}+11v^{5}-1)=(u-v)^{12}.}$

De plus, on peut remarquer que les facteurs apparaissant pour ${\displaystyle n=5}$ se retrouvent dans le cas ${\displaystyle n=11}$, puisque :

${\displaystyle v^{10}+11v^{5}-1=(v^{2}+v-1)(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1).}$

Ramanujan a découvert beaucoup d'autres propriétés intéressantes de R(q)^[5]. Posant ${\displaystyle u=R(q^{a})}$, ${\displaystyle v=R(q^{b})}$, et ${\displaystyle \phi }$ le nombre d'or,

si ${\displaystyle ab=4\pi ^{2}}$, alors ${\displaystyle (u+\phi )(v+\phi )={\sqrt {5}}\,\phi .}$

si ${\displaystyle 5ab=4\pi ^{2}}$, alors ${\displaystyle (u^{5}+\phi ^{5})(v^{5}+\phi ^{5})=5{\sqrt {5}}\,\phi ^{5}.}$

Les puissances de R(q) vérifient également des relations inattendues. Ainsi,

${\displaystyle R^{3}(q)={\frac {\alpha }{\beta }}}$

où

${\displaystyle \alpha =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{5n+2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}}}$

${\displaystyle \beta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{5n+1}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}}$

Posant ${\displaystyle w=R(q)R^{2}(q^{2})}$, on a

${\displaystyle R^{5}(q)=w\left({\frac {1-w}{1+w}}\right)^{2},\;\;R^{5}(q^{2})=w^{2}\left({\frac {1+w}{1-w}}\right)}$