Fils cadet du comte originel (Altgraf) Anton Joseph Franz von Salm-Reifferscheidt (1720-1769) et de son épouse Maria Anne von Rogendorf, Franziskus Xavier est issu d'une branche ardennaise de la maison de Salm. Son père, le fondateur de la lignée des seigneurs de Raitz (Rájec) en Moravie, était éducateur du futur empereur Joseph II et chevalier de la Toison d'or.
Franziskus Xavier von Salm fut le dernier des évêques de Gurk résidant au château de Straßburg: en 1786, face aux réformes ecclésiastiques du joséphisme, notamment la suppression de l'abbaye de Viktring, il transféra son siège épiscopal de Gurk à Klagenfurt, la capitale du duché de Carinthie. En 1791, il emménage dans le palais de l'archiduchesse Marie-Anne d'Autriche décédée. La collusion avec les archevêques de Salzbourg, de Gorizia (Goritz) et de Ljubljana a permis d'élargir considérablement le territoire de son diocèse. Durant les guerres napoléoniennes, Klagenfurt est occupée par les troupes françaises à plusieurs reprises. Le , Napoléon Ier lui-même s'arrêta à la ville; deux jours auparavant, son général André Masséna avait logé au palais épiscopal.
Le pape Pie VII le crée cardinal lors du consistoire du . Il ne reçut jamais de titre. Les dernières années de son épiscopat furent malheureusement ternies par des litiges avec l'archevêché de Salzbourg et également par des difficultés économiques. Néanmoins, l'évêque reste dans les mémoires comme un généreux protecteur des lettres et des arts, et comme un ami de la nature en organisant la première ascension du mont Grossglockner en 1799-1800.
Dalle commémorative à Straßburg.
En 1822, Franziskus Xavier von Salm succomba à une attaque cérébrale lors d'une balade. Il a été enterré dans l'église paroissiale Saint-Nicolas à Straßburg.
