Grandeur multiplicative

Dans l’analyse de la transmission d’un signal, la principale grandeur est la transmittance, rapport du signal final au signal initial.

La formule classique (additive) de la variation d’un phénomène, « valeur finale moins valeur initiale », se traduit ici sous forme multiplicative, parce que la succession de deux atténuations est le produit de ces deux atténuations (tandis que la superposition de deux variations est la somme de ces variations).

La grandeur multiplicative est le rapport de deux unités de même nature, et est donc sans dimension. Elle est fréquemment exprimée en pour-cent (%) ou pour mille (‰), ce qui rend cette unité non ambigüe.

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Comme souligné, la variation résultant de deux étapes est le produit de la variation de chaque étape. Pour faciliter les compositions multiplicatives de ces quantités, ces quantités sont souvent transformées sous forme de logarithme, qui transforme les produits en somme, et permet notamment d’intégrer ces quantités le long d’une trajectoire. C’est la transformation mathématiquement la plus naturelle. Comme une valeur d’atténuation est typiquement inférieure à l’unité, son logarithme est systématiquement négatif ; on prend en réalité le logarithme de l’inverse de sa valeur, ce qui le change de signe et permet de manipuler des quantités positives.

Dans les sciences de l’ingénieur, on préfère généralement prendre le logarithme décimal, et le plus souvent son sous-multiple, le décibel. Ces deux logarithmes se déduisent du premier par un simple facteur multiplicatif. Le décibel est normalement noté par son unité spécifique, le dB, ce qui rend l’unité utilisée non ambigüe.

Le signal final est typiquement plus faible que le signal initial, mais souvent pas tellement plus faible ; dans ce cas là grandeur considérée est de la forme ${\displaystyle (1-\varepsilon )}$ avec ${\displaystyle \varepsilon }$ petit. Comme il est généralement plus facile de raisonner sur des petites valeurs, il est fréquent de raisonner non pas sur ce qui est conservé, mais sur la part absorbée, qui vaut sensiblement ${\displaystyle \varepsilon }$. Au premier ordre, pour les grandes valeurs de transmittance, de la forme ${\displaystyle (1-\varepsilon )}$ avec ${\displaystyle \varepsilon }$ petit, le logarithme népérien est sensiblement égal à ${\displaystyle \varepsilon }$ :

${\displaystyle -\ln(1-\varepsilon )\approx \varepsilon \approx {\frac {1}{1-\varepsilon }}}$

La grandeur multiplicative compare deux états achevés, c’est donc une propriété extensive d’un système pris entre un état initial et un état final.

Dans certains cas, le passage entre état initial et état final peut être continu, soit qu’il s’agit d’une variation dans le temps (par exemple, inflation monétaire), où d’une variation le long d’un cheminement (atténuation d’un signal le long d’un câble).

La dérivée par rapport au temps où à la distance est toujours prise par rapport à une grandeur additive associée. On obtient alors une grandeur intensive, caractéristique de l’instant ou du point considéré, dont l’unité est celle de la grandeur additive divisée par un temps ou par une longueur.

En résumé, une grandeur multiplicative n’a pas de dimension, est une grandeur extensive, et son unité peut refléter différents modes de calcul:

• % ou ‰ : fraction simple multipliée par cent ou mille.
• dB : logarithme décimal, changé de signe et multiplié par dix.
• Ln ou lg : (rare) logarithme népérien ou décimal.
• (rien) : théoriquement, la fraction elle-même, mais ce peut également être un logarithme dont on a omis la notation.

Les grandeurs intensives associées s’en déduisent, par exemple:

• dB/km pour caractériser les pertes en ligne d’une transmission,
• %/an pour caractériser un rythme d’inflation,
• Mètre à la puissance moins un : sans unité précisant la grandeur multiplicative considérée, il s’agit probablement d’un Ln/m implicite.
• etc.