Graphe de Hatzel

Les graphes hypohamiltonien furent étudiés pour la première fois par Sousselier en 1963 dans Problèmes plaisants et délectables^[1]. En 1967, Lindgren découvre une classe infinie de graphes hypohamiltoniens^[2]. Il cite alors Gaudin, Herz et Rossi^[3] puis Busacker et Saaty^[4] en tant qu'autres précurseurs sur le sujet.

Dès le départ, le plus petit graphe hypohamiltonien est connu : le graphe de Petersen. Cependant la recherche du plus petit graphe hypohamiltonien planaire reste ouverte. La question de l'existence d'un tel graphe est introduite par Václav Chvátal en 1973^[5]. La réponse est apportée en 1976 par Carsten Thomassen, qui exhibe un exemple à 105 sommets, le 105-graphe de Thomassen^[6]. En 1979, Hatzel améliore ce résultat en introduisant un graphe hypohamiltonien planaire à 57 sommets : le graphe de Hatzel^[7].

Le graphe de Hatzel est battu en 2007 par le 48-graphe de Zamfirescu^[8]. En 2009, le graphe de Zamfirescu est battu à son tour par le graphe de Wiener-Araya, qui devient avec ses 42 sommets le plus petit graphe hypohamiltonien planaire connu^[9].

Le diamètre du graphe de Hatzel, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 7 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Le nombre chromatique du graphe de Hatzel est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Hatzel est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Le groupe d'automorphismes du graphe de Hatzel est un groupe d'ordre 8.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Hatzel est : ${\displaystyle -(x-1)^{4}(x+2)(x^{2}-2)^{2}(x^{2}+2x-1)^{4}(x^{3}+x^{2}-2x-1)(x^{4}-2x^{3}-5x^{2}+9x+1)(x^{6}+x^{5}-9x^{4}-4x^{3}+20x^{2}-x-4)(x^{9}-4x^{8}-12x^{7}+55x^{6}+40x^{5}-245x^{4}+3x^{3}+354x^{2}-144x-16)(x^{9}-x^{8}-14x^{7}+10x^{6}+65x^{5}-31x^{4}-103x^{3}+31x^{2}+17x-3)^{2}}$.

• Théorie des graphes

• (en) Eric W. Weisstein, « Hatzel Graph », sur MathWorld

• Portail des mathématiques