Le graphe de Pappus est hamiltonien et possède 72 cycles hamiltoniens distincts.
Le diamètre du graphe de Pappus, l'excentricité maximale de ses sommets, est égal à 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est égal à 4 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est égale à 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le déconnecter il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Le graphe de Pappus n'est pas planaire. En effet, pour le dessiner sur un plan, il faut nécessairement que plusieurs arêtes se croisent. Il est possible de le dessiner avec seulement 5 croisements et ce nombre est minimal[2]. Avec ses 18 sommets, il est le plus petit graphe cubique nécessitant 5 croisements pour être dessiné dans le plan[3].
Le nombre chromatique du graphe de Pappus est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 1-coloration valable du graphe.
L'indice chromatique du graphe de Pappus est égal à 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisées. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines 0 et 1 et est de degré 18. Il est égal à :
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Le graphe de Pappus est symétrique, c'est-à-dire que son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses arêtes, ses sommets et ses arcs. Son groupe d'automorphisme est d'ordre 216. C'est l'unique graphe cubique symétrique à 18 sommets et sa notation dans le Foster Census est F18A[4],[5].
Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Pappus est : 
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