Graphe de Tutte

Le graphe de Tutte est découvert par le mathématicien William Tutte en 1946. C'est le premier contre-exemple connu à la conjecture de Tait sur les graphes hamiltoniens, c'est-à-dire que c'est un graphe planaire non-hamiltonien étant 3-sommet-connexe^[1],[2].

Le graphe de Tutte est suivi de la construction de plusieurs autres contre-exemples à cette conjecture. Notamment trois par Grinberg (le 46-graphe de Grinberg, le 44-graphe de Grinberg et le 42-graphe de Grinberg), et deux par Faulkner et Younger (le 44-graphe de Faulkner-Younger et le 42-graphe de Faulkner-Younger)^[3],[4].

En 1965, Lederberg construit un contre-exemple à la conjecture de Tait doté de seulement 38 sommets : le graphe de Barnette-Bosák-Lederberg^[5]. Lederberg émet l'hypothèse de sa minimalité mais est incapable de la prouver. Il démontre cependant qu'un contre-exemple minimal à la conjecture de Tait doit avoir strictement plus de 24 sommets.

À peu près à la même époque, David Barnette et Juraj Bosák (sk) construisent six contre-exemples d'ordre 38 à la conjecture de Tait, redécouvrant indépendamment le graphe de Barnette^[6],[7].

En 1988, Derek Holton et Brendan McKay prouvent qu'il est impossible de construire un contre-exemple à la conjecture de Tait avec moins de 38 sommets. Dans le même article, ils démontrent que les 6 graphes décrits par D. Barnette et J. Bosák sont les seuls de cet ordre^[8].

Le diamètre du graphe de Tutte, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 5 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Le nombre chromatique du graphe de Tutte est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Tutte est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Le groupe d'automorphismes du graphe de Tutte est un groupe abélien d'ordre 3 isomorphe au groupe cyclique Z/3Z.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Tutte est :

${\displaystyle (x-3)(x^{15}-22x^{13}+x^{12}+184x^{11}-26x^{10}-731x^{9}+199x^{8}+1383x^{7}-576x^{6}-1061x^{5}+561x^{4}+233x^{3}-151x^{2}+4x+4)^{2}}$

${\displaystyle (x^{15}+3x^{14}-16x^{13}-50x^{12}+94x^{11}+310x^{10}-257x^{9}-893x^{8}+366x^{7}+1218x^{6}-347x^{5}-717x^{4}+236x^{3}+128x^{2}-56x+4).}$

• Théorie des graphes

• (en) Eric W. Weisstein, « Tutte's Graph », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Tait's Hamiltonian Graph Conjecture », sur MathWorld

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