Il existe cinq graphes correspondant aux squelettes des cinq solides de Platon. Le graphe icosaédrique est celui qui correspond à l'icosaèdre régulier. Les quatre autres sont le graphe tétraédrique, le graphe hexaédrique, le graphe octaédrique et le graphe dodécaédrique.
Le diamètre du graphe icosaédrique, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 5-sommet-connexe et d'un graphe 5-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 5 sommets ou de 5 arêtes.
Le nombre chromatique du graphe icosaédrique est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
L'indice chromatique du graphe icosaédrique est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe en fonction du nombre de couleurs autorisé. Cela donne une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifié de polynôme chromatique. Ce polynôme admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 4 et est de degré 12. Il est égal à : 
.
Un des 2560 cycles hamiltoniens.
Unique cycle hamiltonien sur l'icosaèdre régulier possédant une symétrie centrale, et une symétrie de rotation d'ordre 3.
Le graphe icosaédrique possède 2560 cycles hamiltoniens (passant une fois et une seule par chacun des douze sommets)[1]. Représenté sur l'icosaèdre régulier, il ne possède plus que 17 cycles hamiltoniens à isométrie près et un seul d'entre eux possède une symétrie centrale[2],[3],[4],[5].
Cela signifie qu'il existe exactement 17 façons de "peler" successivement les douze faces d'un dodécaèdre régulier (deux faces successives étant séparées par une arête) en un chemin fermé[2].
Le groupe d'automorphismes du graphe icosaédrique est un groupe d'ordre 120.
Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe icosaédrique est : 
. Le graphe icosaédrique est donc un graphe intégral, un graphe dont le spectre est constitué d'entiers.
