Groupe de Witt
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Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
En mathématiques, un groupe de Witt sur un corps commutatif, nommé d'après Ernst Witt, est un groupe abélien dont les éléments sont représentés par des formes bilinéaires symétriques sur ce corps.
Considérons un corps commutatif « k ». Tous les espaces vectoriels considérés ici seront implicitement supposés de dimension finie. On dit que deux formes bilinéaires symétriques sont « équivalentes » si on peut obtenir l'une à partir de l'autre en additionnant 0 ou plusieurs copies d'un plan hyperbolique (forme bilinéaire symétrique non dégénérée en dimension 2 avec un vecteur de norme nulle). Le théorème de Witt garantit qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence.
Le groupe de Witt sur k est le groupe abélien des classes d'équivalence des formes bilinéaires symétriques non dégénérées, avec la première loi qui correspond à la somme orthogonale directe des formes. Dans ce groupe, tout élément d'ordre fini a pour ordre une puissance de 2. La hauteur du corps k est définie comme l'exposant du sous-groupe de torsion de son groupe de Witt. (Si le niveau du corps est fini, la hauteur est son double[1].)
Le groupe de Witt sur k peut être enrichi d'une structure d'anneau commutatif, en utilisant le produit tensoriel de deux formes bilinéaires pour la seconde loi. Cet anneau est parfois appelé l'« anneau de Witt sur k », bien que le terme d'anneau de Witt soit aussi parfois utilisé pour désigner un anneau complètement différent : celui des vecteurs de Witt.
