Groupe parfait

Dans ce qui suit, le dérivé d'un groupe G sera noté D(G).

• Si un groupe G est parfait, l'image de G par un homomorphisme est un groupe parfait. En particulier, tout groupe quotient d'un groupe parfait est parfait.
  En effet, si f est un homomorphisme d'un groupe G (quelconque) dans un autre groupe, on a toujours D(f(G)) = f(D(G)).
• Si un groupe parfait G est sous-groupe d'un groupe H, il est contenu dans le dérivé de H.
  En effet, si un groupe G (quelconque) est sous-groupe de H, D(G) est contenu dans D(H). Si, de plus, G est parfait, ceci revient à dire que G est contenu dans D(H).
• Tout groupe simple non commutatif est parfait.
  En effet, le groupe dérivé d'un groupe G est un sous-groupe normal de G, donc si G est simple, son dérivé D(G) doit être réduit à 1 ou égal à G. Puisque G est supposé non commutatif, D(G) n'est pas réduit à 1, donc D(G) = G.
• De plus, dans un groupe fini simple non commutatif, tout élément est un commutateur. La démonstration de ce théorème, conjecturé par Øystein Ore en 1951, a été achevée en 2010^[1].
• L'essentiel de cet article de 1951 d'Øystein Ore était consacré à démontrer que dans le groupe symétrique infini S_ℕ aussi, tout élément est un commutateur^[2].
• Un groupe résoluble non réduit à l'élément neutre n'est pas parfait.
  En effet, si G est un groupe parfait, la suite dérivée de G, c'est-à-dire la suite G, D(G), D(D(G)), ... plafonne à G, donc si, de plus, G n'est pas réduit à l'élément neutre, cette suite ne prend pas la valeur 1, donc G n'est pas résoluble.
• Aucun groupe G tel que 1 < |G| < 60 n'est parfait.
  En effet, un tel groupe est résoluble^[3], d'où la conclusion par le point précédent.
• Soient K un corps commutatif et n un nombre naturel. Sauf dans le cas où n est égal à 2 et |K| à 2 ou à 3, le groupe spécial linéaire SL(n, K) est parfait^[4].
• Un groupe parfait non réduit à l'élément neutre n'est pas forcément simple.
  En effet, on sait^[5] que si K est un corps commutatif et n un nombre naturel, le centre SZ(n, K) de SL(n, K) est formé par les matrices scalaires de déterminant 1. Si n > 1, ce centre n'est pas SL(n, K) tout entier : considérer par exemple une matrice triangulaire distincte de la matrice identité mais dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 ; une telle matrice appartient à SL(n, K) mais non à SZ(n, K). Si, de plus, il existe un élément a de K distinct de 1 tel que aⁿ = 1 (ce qui est le cas si n divise |K| – 1), alors la matrice scalaire de coefficients diagonaux égaux à a appartient au centre SZ(n, K) et est distincte de la matrice identité, donc le centre SZ(n, K) de SL(n, K) n'est pas réduit à l'élément neutre. Ainsi, dans le cas considéré, SZ(n, K) est un sous-groupe normal de SL(n, K) qui n'est ni réduit à l'élément neutre ni égal à SL(n, K) tout entier, donc SL(n, K) n'est pas simple. Pourtant, d'après le point précédent, SL(n, K) peut être parfait dans le cas considéré. Par exemple, SL(2, 5) = SL(2, F₅) (où F₅ désigne « le » corps à 5 éléments) est parfait et non simple.
• Soient K un corps commutatif et n un nombre naturel non nul. Le groupe linéaire GL(n, K) n'est parfait que dans le cas où |K| = 2 et n ≠ 2.
  En effet, D(GL(n, K)) ⊂ SL(n, K) (par exemple parce que l'application M ↦ det(M) de G dans le groupe multiplicatif de K qui applique M sur son déterminant est un homomorphisme arrivant dans un groupe commutatif, de sorte que son noyau contient D(GL(n, K)). (On a vu, d'ailleurs, que, dans la plupart des cas, SL(n, K) est parfait, ce qui entraîne SL(n, K) ⊂ D(GL(n, K)), d'où, dans la plupart des cas, D(GL(n, K)) = SL(n, K).) Si |K| > 2, alors SL(n, K) ⊊ GL(n, K), donc GL(n, K) n'est pas parfait. Si maintenant K est « le » corps à 2 éléments F₂, alors GL(n, K) = SL(n, K) donc, d'après le point précédent, GL(n, F₂) est parfait si et seulement si n est distinct de 2.
• Il existe des groupes parfaits finis dont la « largeur de commutateurs » (le plus petit n tel que tout élément du groupe soit produit de n commutateurs) est arbitrairement grande^[6], et des groupes parfaits de type fini de « largeur » infinie^[7].
• Toute somme directe de groupes parfaits est un groupe parfait mais on construit facilement, grâce au point précédent, un produit dénombrable non parfait de groupes parfaits.
• Pour un groupe G vérifiant les deux conditions de chaîne (croissante et décroissante) sur les sous-groupes normaux — en particulier pour un groupe fini^[8] — la décomposition de Remak (en) de G (décomposition, unique seulement à automorphisme près, en produit fini de sous-groupes indécomposables) est unique dès que G est parfait^[9],[10].