Groupe super-résoluble

Détaillons les implications strictes :

• Tout groupe super-résoluble est polycyclique (en) (notion plus faible où l'on demande seulement que chaque G_i+1 soit normal dans G_i).
• Tout groupe polycyclique est résoluble (notion encore plus faible où de plus, on demande seulement que les quotients G_i/G_i+1 soient abéliens). Plus précisément, un groupe est polycyclique si et seulement s'il est résoluble et tous ses sous-groupes sont de type fini.
• Le groupe alterné A₄ est polycyclique (car fini et résoluble) mais pas super-résoluble, puisque son seul sous-groupe normal non trivial (le groupe de Klein) n'est pas cyclique.
• Pour tout n ≥ 2, le groupe de Baumslag-Solitar BS(1, n) = ⟨a, b | bab⁻¹ = aⁿ⟩ est résoluble mais pas polycyclique, car son sous-groupe dérivé est ℤ[1/n].