Guido Hoheisel

À partir de 1914, Hoheisel étudie à l'Université de Breslau et à partir de 1920 à l'Université Humboldt de Berlin, où il obtient son doctorat en 1920 sous la direction de Erhard Schmidt^[1] (publiée sous le titre : « Lineare funktionale Differentialgleichungen », Mathematische Zeitschrift vol. 14, 1922, p. 35-98) et Issai Schur. Pendant ses études, il devient membre de l'association estudiantine catholique KStV Unitas Breslau^[2]. Il obtient son habilitation à Breslau, où il fut Privatdozent à partir de 1922 et professeur extraordinaire à partir de 1928. À partir de 1935, il occupe la même fonction à l'université de Greifswald et, à partir de 1938, il est d'abord professeur remplaçant puis, à partir de 1939, professeur titulaire à l'université de Cologne, et à partir de 1940 directeur de l'Institut de mathématiques. Pendant la Seconde Guerre mondiale, Hoheisel enseigne simultanément aussi à Bonn et à Münster. Il a pris sa retraite à Cologne en 1962. Parmi ses doctorants figure Arnold Schönhage.

Hoheisel est connu pour un résultat concernant les écarts entre nombres premiers^[3]. Il a prouvé qu'il existe une constante ${\displaystyle \theta <1}$ telle que la fonction de compte des nombres premiers ${\displaystyle \pi (x)}$ vérifie

${\displaystyle x+x^{\theta }-\pi (x)\sim x^{\theta }/\log(x)}$

lorsque ${\displaystyle x}$ tend vers l'infini, ce qui implique que le ${\displaystyle n}$-ième nombre premier ${\displaystyle p_{n}}$ vérifie

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<{p_{n}}^{\theta }}$,

pour tout ${\displaystyle n}$ suffisamment grand. Il a montré que l'on peut prendre ${\displaystyle \theta =32999/33000}$.

Une autre preuve et l'amélioration ${\displaystyle \theta =249/250}$ a donné par Hans Heilbronn^[4]. D'autres améliorations de la borne pour ${\displaystyle \theta }$ ont été données par Nikolai Chudakov (en) (borne inférieure 3/4) en 1936 et Albert Ingham (borne inférieure 5/8) en 1937 et Martin Huxley (en) en 1972 (${\displaystyle \theta =7/12}$)^[5].