Géodésique fermée

Dans une variété riemannienne (M, g), une géodésique fermée est une courbe ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \rightarrow M}$ qui est une géodésique pour la métrique g et qui est périodique.

Les géodésiques fermées peuvent être caractérisées au moyen d'un principe variationnel. En notant ΛM l'espace des courbes lisses et 1-périodiques sur M, les géodésiques fermées 1-périodiques sont précisément les points critiques de la fonctionnelle d’énergie ${\displaystyle E\colon \Lambda M\rightarrow \mathbb {R} }$ définie par

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

Si γ est une géodésique fermée de période P, la courbe paramétrée ${\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)}$ est une géodésique fermée de période 1, et par conséquent c’est un point critique de E. Si γ est un point critique de E, il en va de même pour les courbes reparamétrées γ^m pour chaque ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ définies par γ^m(t) := γ(mt). Ainsi chaque géodésique fermée sur M donne lieu à une suite infinie de points critiques de E.