Hodographe

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L'hodographe du mouvement d'un mobile ponctuel M par rapport à un point fixe O est le lieu H des points P tels que:

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {V}}}$

où ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$ est le vecteur vitesse de M à l'instant t.

Ainsi dans l'image ci-contre, les quatre vecteurs (1 à 4) représentent les vitesses à quatre moments de la révolution elliptique d'une planète :

• 

  la vitesse (1) est maximale et correspond au moment où la planète se situe au périhélie donc au plus proche du Soleil ;
• la vitesse (3) est minimale et correspond à l'aphélie donc à la position la plus éloignée du Soleil ;
• la vitesse (2) est orthogonale aux vecteurs (3) et (1) et correspond à l'intersection de la trajectoire avec le petit axe de l'ellipse ;
• la vitesse (4) correspond à la position à angle droit où la distance entre le Soleil et la planète autrement dit le rayon est égale au paramètre de l'ellipse.

Selon la loi des aires, la deuxième loi de Kepler, la vitesse angulaire est inversement proportionnelle au carré du rayon, ce qui se manifeste par une surface balayée par le rayon proportionnelle au temps.

L'intersection des axes P_x et P_y est le point fixe O quelconque, à partir duquel l'hodographe est construit et où les origines des vecteurs vitesse sont placées. Le point rouge est la pointe du vecteur constant appelé vecteur de Hamilton dont la norme est égale à A/L=eGMm/L et dont l'origine est aussi le point O. Il est relié à l'invariant de Runge-Lenz. ${\displaystyle e}$ est l'excentricité de l'ellipse et ${\displaystyle L}$ le moment cinétique. Chaque vecteur vitesse est la somme de ce vecteur constant et d'un vecteur tournant de norme constante égale au rayon du cercle GMm/L. Cette construction géométrique sert à démontrer l'ellipticité de la trajectoire donc la première loi de Kepler.

L'hodographe en physique est construit à la fois avec le plan physique et le plan de représentation des contraintes pour déterminer le champ des lignes de glissement dans un matériau qui se déforme plastiquement ou les forces qui s'exercent dans un système.

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L'hodographe est utilisé en météorologie pour pointer les données de vents d'un radiosondage. Il prend la forme d'un diagramme polaire où la direction est indiquée par l'angle au centre de la figure et la grandeur par la distance avec ce centre^[1]. Dans la figure à droite, on a dans la partie du bas la grandeur et la direction des vents à différentes altitudes au-dessus du sol. Ceux-ci sont pointés comme les vecteurs ${\displaystyle {\vec {V}}_{0}}$ à ${\displaystyle {\vec {V}}_{4}}$. L'hodographe est donc la ligne qui joint les têtes de ces vecteurs^[2],[3].

L'angle d'où vient le vent est pointé comme dans un miroir dans ce type d'hodographe. Ainsi, la partie supérieure droite de l'image montre comment on doit pointer les vecteurs (ex. un angle de 180 degrés se trouve tracé vers le haut donc les vents venant du sud se dirigent vers le nord). L'hodographe nous permet de calculer différents paramètres en conjonction avec les diagrammes thermodynamiques comme le téphigramme^[4],[5] :

• Cisaillement : les lignes qui relient entre elles les extrémités de ces vecteurs reflètent le changement, tant en direction qu'en grandeur, du vent avec l'altitude. Elles représentent le cisaillement des vents dans une couche de l'atmosphère. Ce dernier est important à connaître pour la prévision du développement des orages et le comportement des vents dans l'avenir.
• Turbulence : selon la valeur du cisaillement dans une couche, on peut en déduire la turbulence très importante pour l'aviation.
• Advection de température : pour savoir le changement de température à une altitude, il suffit de regarder la relation entre le vecteur du vent à ce niveau et le cisaillement entre ce niveau et celui au-dessus. En effet, le vent indique la direction d'où vient le vent et le cisaillement dans quelle direction on a un changement de masse d'air. Dans l'hémisphère nord, l'air chaud se trouve à droite du cisaillement alors que c'est l'inverse dans l'hémisphère sud (voir Vent thermique). Par exemple, dans l'image le vent ${\displaystyle {\vec {V}}_{3}}$ vient du sud-ouest et le cisaillement est vers la droite. Donc il y aura advection d'air chaud dans cette couche de l'atmosphère : elle se réchauffera.