Hypographe

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction définie sur un ensemble ${\displaystyle \mathbb {E} }$ à valeurs dans la droite réelle achevée ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$. L'hypographe de ${\displaystyle f}$ est l'ensemble noté ${\displaystyle \operatorname {hyp} \,f}$ et défini par

${\displaystyle \operatorname {hyp} \,f:=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :f(x)\geqslant \alpha \}.}$

L'hypographe strict de ${\displaystyle f}$ est l'ensemble noté ${\displaystyle \operatorname {hyp} _{s}\,f}$ et défini par

${\displaystyle \operatorname {hyp} _{s}\,f:=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :f(x)>\alpha \}.}$