Épigraphe (mathématiques)

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Soit ${\displaystyle f}$ une fonction définie sur un ensemble ${\displaystyle \mathbb {E} }$ à valeurs dans la droite réelle achevée ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$. L'épigraphe de ${\displaystyle f}$ est l'ensemble noté ${\displaystyle \operatorname {epi} \,f}$ et défini par

${\displaystyle \operatorname {epi} \,f:=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :f(x)\leqslant \alpha \}.}$

Il s'agit donc de l'ensemble des points de l'ensemble produit ${\displaystyle \mathbb {E} \times \mathbb {R} }$ qui sont situés au-dessus du graphe de ${\displaystyle f}$ (épi venant du grec ancien et signifiant sur, au-dessus).

L'épigraphe strict de ${\displaystyle f}$ est l'ensemble noté ${\displaystyle \operatorname {epi} _{s}\,f}$ et défini par