Hôtel de Hilbert

Si un hôtel possède un nombre fini de chambres, chacune pouvant être occupée par une seule personne et que toutes les chambres sont occupées, l'hôtelier est obligé de refuser tout nouveau client. Même si les clients déjà logés acceptent de changer de chambre, tant que, bien-sûr, la condition « au plus un client par chambre » reste respectée, aucune réaffectation ne permettra de libérer de place^[1].

Supposons maintenant que cet hôtel possède un nombre infini de chambres, numérotées par les nombres entiers à partir de 1 (1,2,3, …), chacune ne pouvant toujours être occupée que par une seule personne. Alors même si toutes les chambres sont occupées, l'hôtelier peut quand même accueillir un nouveau client^[2].

Accueil d'un client supplémentaire

Pour accueillir un client supplémentaire, il suffit que l'hôtelier demande à l'occupant de la première chambre de s'installer dans la seconde, à celui de la seconde de s'installer dans la troisième, et ainsi de suite (voir l'illustration à droite). L'occupant de la chambre n va se déplacer en chambre n+1. De cette manière, la première chambre est libre et peut accueillir le nouveau client.

Par le même procédé, l'hôtelier peut accepter n'importe quel nombre fini de clients supplémentaires. Par exemple si 100 personnes arrivent, l'occupant de la chambre 1 part en chambre 101, et ainsi de suite.

Accueil d'une infinité de clients supplémentaires

Mais l'hôtelier peut aussi accueillir une infinité de nouveaux clients.

Pour ce faire, il suffit que l'occupant de la chambre n^o 1 prenne la chambre n^o 2, l'occupant de la n^o 2 la n^o 4, celui de la n^o 3 la n^o 6, et ainsi de suite (l'occupant de la chambre n va se reloger à la chambre 2n). Chacun occupe alors une chambre de numéro double de celui de sa chambre précédente, de sorte que toutes les chambres de numéro impair deviennent libres. Puisqu'il existe une infinité de nombres impairs, l'hôtelier peut accueillir une infinité de nouveaux clients.

La définition mathématique de la cardinalité prolonge la notion de « nombre d'éléments », intuitive dans le cas des ensembles finis, en lui donnant un sens sur des ensembles infinis. Sa définition utilise les bijections, c'est-à-dire une mise en relation de chaque élément de l'ensemble de départ vers un élément unique de l'ensemble d'arrivée, telle que, inversement, chaque élément de l'ensemble d'arrivée n'est atteint que par un élément unique de l'ensemble de départ (autrement dit, une « correspondance un à un »). Deux ensembles qu'il est possible de mettre en bijection sont alors dits équipotents (ou parfois équivalents), ce qui capture l'idée intuitive d'avoir « autant d'éléments ». Cette idée de correspondance, élémentaire dans le cas des ensembles finis, peut être étendue aux ensembles infinis. Le cardinal d'un ensemble — son nombre d'éléments dans le cas fini — est un représentant unique d'une classe d'ensembles tous équipotents entre eux.

L'hôtel de Hilbert illustre que deux ensembles infinis tels que l'un est strictement inclus dans l'autre peuvent être équipotents, c'est-à-dire avoir même cardinal^[3], ce qui est manifestement faux pour les ensembles finis (c'est essentiellement le principe des tiroirs de Dirichlet). C'est la raison pour laquelle cette propriété peut paraître paradoxale. Mais l'arithmétique des nombres cardinaux infinis est très différente de l'arithmétique ordinaire.

Implicitement, tous les ensembles infinis dont il est question ont été supposés numérotés par les nombres entiers, c'est-à-dire qu'ils sont dénombrables.

• La première version illustre le fait que la fonction qui à un entier n associe son successeur n +1 établit une bijection entre l'ensemble des nombres entiers naturels (comptés à partir de 1) et l'ensemble des entiers naturels comptés à partir de 2, strictement inclus dans le premier. Il y a donc autant d'entiers comptés à partir de 1 que d'entiers comptés à partir de 2 au sens où les deux ensembles correspondant peuvent être mis en bijection (en correspondance un à un), c'est-à-dire qu'ils sont équipotents.
• La seconde version illustre que la fonction qui à un entier n associe son double 2n établit une bijection entre le même ensemble des nombres entiers naturels (comptés à partir de 1) et celui des entiers pairs comptés à partir de 2, c'est-à-dire que là encore ces deux ensembles sont équipotents.
• Dans la seconde version, les chambres laissées libres après le déplacement de leurs occupants sont numérotés par les entiers naturels impairs. La fonction qui à n associe 2n-1 établit une bijection de l'ensemble des entiers naturels non nuls dans celui des entiers naturels impairs.

Ici, tous les ensembles infinis en jeu, ensemble des entiers naturels non nuls, ensemble des entiers naturels pairs non nuls, et ensemble des entiers naturels impairs, ont le même cardinal, qui est celui du dénombrable. Mais, comme l'a montré Georg Cantor, il existe des ensembles infinis qui ne sont pas dénombrables, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas être mis en bijection avec les précédents.

Dans son livre One Two Three . . . Infinity (Un, deux, trois... l'infini) paru en 1947, le physicien George Gamow raconte que, selon Richard Courant^[4], David Hilbert utilisait cet exemple pour illustrer ses conférences sur l'infini^[5]. On le trouve effectivement dans un cycle de conférences donné à l'hiver 1924-1925, mais publié seulement en 2013^[6].