Identité de Glennie

Soit ${\displaystyle \cdot }$ le produit dans une algèbre de Jordan spéciale A. Pour tous X, Y, Z dans A, on définit leur produit triple de Jordan par

${\displaystyle \{X,Y,Z\}=X\cdot (Y\cdot Z)-Y\cdot (Z\cdot X)+Z\cdot (X\cdot Y)}$.

Alors l'identité suivante, appelée identité de Glennie et souvent notée G₈, est satisfaite^[3] :

${\displaystyle 2{\Bigl \{}{\bigl \{}Z,\{X,Y,X\},Z{\bigr \}},Y,Z\cdot X{\Bigr \}}-{\Bigl \{}Z,{\bigl \{}X,\{Y,X\cdot Z,Y\},X{\bigr \}},Z{\Bigr \}}=2{\Bigl \{}X\cdot Z,Y,{\bigl \{}X,\{Z,Y,Z\},X{\bigr \}}{\Bigr \}}-{\Bigl \{}X,{\bigl \{}Z,\{Y,X\cdot Z,Y\},Z{\bigr \}},X{\Bigr \}}}$.

Il est facile de trouver des éléments X, Y et Z dans les algèbres d'Albert pour lesquels cette égalité est fausse.

• Algèbre de Jordan
• Algèbre d'Albert
• Algèbre non associative (en)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Glennie's identity » (voir la liste des auteurs).

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