Identités liées aux sommes de diviseurs

Dans ce qui suit, on suppose ${\displaystyle f,g,h,u,v:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ sont des fonctions arithmétiques données et que ${\displaystyle G(x):=\sum _{n\leq x}g(n)}$ est la fonction sommatoire de ${\displaystyle g(n)}$. Un cas spécial plus courant de la première sommation ci-dessous est référencé sur la page "ordre moyen d'une fonction arithmétique"^[1].

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}v(n)\sum _{d\mid n}h(d)u\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{n=1}^{x}h(n)\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor }u(k)v(nk)}$
2. ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{x}f(n)\sum _{d\mid n}g\left({\frac {n}{d}}\right)&=\sum _{n=1}^{x}f(n)G\left(\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \right)=\sum _{i=1}^{x}\left(\sum _{\left\lceil {\frac {x+1}{i+1}}\right\rceil \leq n\leq \left\lfloor {\frac {x-1}{i}}\right\rfloor }f(n)\right)G(i)+\sum _{d\mid x}G(d)f\left({\frac {x}{d}}\right)\end{aligned}}}$
3. ${\displaystyle \sum _{d=1}^{x}f(d)\left(\sum _{r\mid (d,x)}g(r)h\left({\frac {d}{r}}\right)\right)=\sum _{r\mid x}g(r)\left(\sum _{1\leq d\leq x/r}h(d)f(rd)\right)}$
4. ${\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)=\sum _{d\mid x}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\cdot {\frac {x}{d}}}$
5. ${\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)t^{m}=(t^{x}-1)\cdot \sum _{d\mid x}{\frac {t^{d}f(d)}{t^{d}-1}}g\left({\frac {x}{d}}\right)}$

La méthode de convolution est une technique générale d'estimation des sommes d'ordre moyen de la forme :

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\qquad {\text{ ou }}\qquad \sum _{\stackrel {q\leq x}{q{\text{ sans carré}}}}f(q),}$

où la fonction multiplicative f peut être écrite comme un produit de convolution sous la forme ${\displaystyle f(n)=(u\ast v)(n)}$ pour des fonctions arithmétiques u et v bien choisies^[2].

Une fonction arithmétique est périodique modulo k, ou k-périodique, si ${\displaystyle f(n+k)=f(n)}$ pour tous ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Des exemples de fonctions k-périodiques sont les caractères de Dirichlet ${\displaystyle f(n)=\chi (n)}$ modulo k et la fonction plus grand commun diviseur ${\displaystyle f(n)=(n,k)}$. On sait que chaque fonction arithmétique k-périodique possède une représentation en série de Fourier (discrète finie) de la forme :

${\displaystyle f(n)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right),}$

où les coefficients de Fourier ${\displaystyle a_{k}(m)}$ définis par l'équation suivante sont également k-périodiques :

${\displaystyle a_{k}(m)={\frac {1}{k}}\sum _{n=1}^{k}f(n)e\left(-{\frac {mn}{k}}\right).}$

On s'intéresse aux "fonctions diviseurs" k-périodiques suivantes :

${\displaystyle s_{k}(n):=\sum _{d\mid (n,k)}f(d)g\left({\frac {k}{d}}\right)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right).}$

On sait que les coefficients de Fourier de ces sommes de diviseurs sont données par la formule ^[3]:

${\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}.}$

On peut également exprimer les coefficients de Fourier, dans l'équation immédiatement ci-dessus, en termes de transformée de Fourier de toute fonction h prenant ses valeurs sur l'ensemble des ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (n,k)}$ en utilisant le résultat suivant, où ${\displaystyle c_{q}(n)}$ est une somme de Ramanujan (cf. Transformée de Fourier de la fonction indicatrice d'Euler )^[4]:

${\displaystyle F_{h}(m,n)=\sum _{k=1}^{n}h((k,n))e\left(-{\frac {km}{n}}\right)=(h\ast c_{\bullet }(m))(n).}$

Ainsi, en combinant les résultats ci-dessus, nous obtenons que :

${\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}=\sum _{d\mid k}\sum _{r\mid d}f(r)g(d)c_{\frac {d}{r}}(m).}$

Soit ${\displaystyle a(n)}$ la fonction caractéristique des nombres premiers, c'est-à-dire ${\displaystyle a(n)=1}$ si et seulement si ${\displaystyle n}$ est premier et vaut zéro sinon. Alors, comme cas particulier de la première identité dans l'équation (1) dans la section à propos de l'échange (d'ordre) de sommation ci-dessus, on peut exprimer les sommes d'ordre moyen :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\sum _{p\mid n \atop p{\text{ premier}}}f(p)=\sum _{p=1}^{x}a(p)f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor =\sum _{p=1 \atop p{\text{ premier}}}^{x}f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor .}$

Il existe également une formule intégrale basée sur la formule sommatoire d'Abel pour les sommes de la forme ^[5]:

${\displaystyle \sum _{p=1 \atop p{\text{ premier}}}^{x}f(p)=\pi (x)f(x)-\int _{2}^{x}\pi (t)f^{\prime }(t)\mathrm {d} t\approx {\frac {xf(x)}{\ln x}}-\int _{2}^{x}{\frac {t}{\ln t}}f^{\prime }(t)\mathrm {d} t,}$

où ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$ désigne la fonction de compte des nombres premiers. En général, on suppose ici l'hypothèse que la fonction f est continue et dérivable.

Nous avons les formules de somme des diviseurs suivantes pour f toute fonction arithmétique et g complètement multiplicative où ${\displaystyle \varphi (n)}$ est la fonction indicatrice d'Euler et ${\displaystyle \mu (n)}$ est la fonction de Möbius^[6],[7] :

1. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)\varphi \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {gcd} (n,k))}$
2. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{p\mid n \atop p{\text{ premier}}}(1-f(p))}$
3. ${\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}g(d)f\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right).}$
4. Si f est complètement multiplicative, la multiplication ponctuelle ${\displaystyle \cdot }$ avec une convolution de Dirichlet donne :${\displaystyle f\cdot (g\ast h)=(f\cdot g)\ast (f\cdot h)}$ .
5. ${\displaystyle \sum _{d^{k}\mid n}\mu (d)={\begin{cases}0,&{\text{ si }}m^{k}\mid n{\text{ pour }}m>1;\\1,&{\text{sinon}}\end{cases}}}$
6. Si ${\displaystyle m\geq 1}$ et n a plus de m facteurs premiers distincts (en), alors ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)\log ^{m}(d)=0.}$