Inégalités de Clarkson

Soit ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ un espace mesurable, et soit ${\displaystyle f,g\in L^{p}(X)}$. Alors, pour ${\displaystyle 2\leq p<+\infty }$,

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right).}$

Et pour ${\displaystyle 1<p\leq 2}$,

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}},}$

où

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$.

Le cas ${\displaystyle p\geq 2}$ est le plus simple à prouver : c'est une application de l'inégalité triangulaire et de la convexité de

${\displaystyle x\mapsto x^{p}.}$

Des extensions aux valeurs complexes ont été obtenus pour tous ${\displaystyle 0<p,q\leq +\infty }$ (Maligranda 2007),

${\displaystyle \left(\left\|f+g\right\|_{L^{q}}^{q}+\left\|f-g\right\|_{L^{q}}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\leq C_{p,q}\left(\left\|f\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|g\right\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

avec

${\displaystyle C_{p,q}=\max(2^{1-{\frac {1}{p}}},2^{\frac {1}{q}},2^{{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}}).}$

• Identité du parallélogramme