Inégalité triangulaire

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

L'inégalité triangulaire constitue la proposition 20 du livre I des Éléments d'Euclide, dans lequel elle est énoncée ainsi : « Dans tout triangle, deux côtés, pris ensemble de quelque façon que ce soit, sont plus grands que le côté restant »^[1].

Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueurs AB, AC et BC vérifient les trois inégalités suivantes :

• ${\displaystyle AB\leqslant AC+CB}$ ;
• ${\displaystyle AC\leqslant AB+BC}$ ;
• ${\displaystyle BC\leqslant BA+AC}$.

La conjonction de ces trois inégalités équivaut à la double inégalité : ${\displaystyle |AC-CB|\leqslant AB\leqslant AC+CB}$.

La première de ces dernières inégalités traduit que dans un triangle, la longueur d'un côté est supérieure à la différence des longueurs des deux autres^[2].

Le cas d'égalité dans la deuxième inégalité s'écrit : ${\displaystyle AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]}$.

En utilisant une représentation complexe du plan euclidien, on peut noter

• ${\displaystyle x={\text{affixe de }}{\overrightarrow {AC}}}$
• ${\displaystyle y={\text{affixe de }}{\overrightarrow {CB}}}$

On obtient cette formulation équivalente.

Pour ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2}}$, on a :

• ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|}$ ;
• ${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0,0)\},\ \lambda y=\mu x}$.

Soit ${\displaystyle (E,\langle \cdot |\cdot \rangle )}$ un espace préhilbertien réel. On note ${\displaystyle \|\cdot \|}$ la norme associée au produit scalaire. Pour ${\displaystyle (x,y)\in E^{2}}$, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, on démontre alors^[3] l'inégalité de Minkowski :

• ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}$ ;
• ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0,0)\},\ \lambda y=\mu x}$ (${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ positivement liés).

(Tout espace préhilbertien complexe ${\displaystyle (E,\langle \cdot |\cdot \rangle ')}$ est un espace préhilbertien réel, pour le produit scalaire ${\displaystyle \langle x|y\rangle$ :=\mathrm {Re} (\langle x|y\rangle ')} , qui induit la même norme que le produit hermitien ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle '}$.)

Soient E un ensemble et ${\displaystyle d:E\times E\to \mathbb {R} ^{+}}$. On dit que d est une distance sur E si :

• ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=d(y,x)}$
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y}$
• ${\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$

La troisième propriété demandée à ${\displaystyle d}$ pour être une distance est de vérifier l'inégalité triangulaire. Jointe à la première, elle entraîne :

• ${\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\ |d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)}$

et plus généralement, pour toute partie non vide A de E, ${\displaystyle |d(x,A)-d(y,A)|\leqslant d(x,y)}$ (voir « Distance d'un point à une partie »).

Réciproquement, ${\displaystyle |d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)\Longrightarrow d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$.

Tout espace vectoriel normé ${\displaystyle (E,\|~\cdot ~\|)}$ — en particulier ${\displaystyle (\mathbb {C} ,|~\cdot ~|)}$ — est naturellement muni d'une distance ${\displaystyle d}$, définie par ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$, pour laquelle la majoration ${\displaystyle |d(x,0)-d(y,0)|\leqslant d(x,y)}$ se réécrit :

• ${\displaystyle \left|\|x\|-\|y\|\right|\leqslant \|x-y\|}$.

Summarize Timeline Fact Check

On peut itérer l'inégalité triangulaire pour un nombre fini d'éléments.

En géométrie, cela donne :

${\displaystyle A_{1}A_{n}\leqslant A_{1}A_{2}+\cdots A_{n-1}A_{n}}$ , cas d'égalité pour ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}}$ alignés dans cet ordre.

Pour les complexes, cela donne :

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|+\cdots +|z_{n}|}$ , cas d'égalité si ${\displaystyle z_{1}\neq 0}$ : ${\displaystyle z_{k}/z_{1}}$ est un réel strictement positif pour ${\displaystyle k=1\cdots n}$.

Pour un espace vectoriel normé :

${\displaystyle \|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\|\leqslant \|x_{1}\|+\|x_{2}\|+\cdots +\|x_{n}\|}$.

Cas d'égalité dans le cas préhilbertien : les ${\displaystyle x_{k}}$ positivement liés deux à deux.