Indice de Moran

Soit un champ réel X défini sur un réseau discret de N sites ; soit une matrice de poids positifs W, carrée de dimension N, ${\displaystyle w_{ij}}$ quantifiant les influences de j sur i^[2]. Notant X la moyenne de X, on définit l'indice I de Moran pour X et W par :

${\displaystyle I={\frac {N}{\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}}}{\frac {\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}(X_{i}-{\bar {X}})(X_{j}-{\bar {X}})}{\sum _{i}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}}$

L'espérance mathématique de l'indice de Moran sous des hypothèses de non autocorrélation spatiale est donnée par : ${\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}$

Sa variance est égale à ${\displaystyle Var(I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}}}$ où ${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}}$ ${\displaystyle S_{2}={\frac {\sum _{i}(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji})^{2}}{1}}}$ ${\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}}$ ${\displaystyle S_{4}={\frac {(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}{1}}}$ ${\displaystyle S_{5}=S_{1}-2NS_{1}+{\frac {6(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}{1}}}$

Les valeurs négatives (resp. positives) de l'indice indiquent une autocorrélation spatiale négative (resp. positive). Ses valeurs s'étendent de −1 (indiquant une dispersion parfaite) à 1 (corrélation parfaite). Une valeur nulle est significative d'un modèle spatial parfaitement aléatoire. Pour le test d'hypothèse statistique, l'indice I de Moran peut être transformé en Z-score dans lequel les valeurs plus grandes que 1,96 ou plus petites que −1,96 indiquent une autocorrélation spatiale significatives avec un taux d'erreur de 5 %.

L'indice de Moran est relié à celui de Geary, mais n'est pas identique. L'indice de Moran est une mesure de l'autocorrélation spatiale globale, tandis que l'Indice de Geary est plus sensible à l'autocorrélation spatiale locale.