Indice de Sobol
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En analyse de sensibilité[1],[2], les indices de Sobol sont des indices de sensibilité d'une variable de sortie à une variable d'entrée. Ils sont nommés d'après le mathématicien russe Ilya Meïérovitch Sobol[3].
Soit un modèle que l'on exprime par une fonction f associant à des variables aléatoires Xi, i∈⟦1,n⟧ la variable aléatoire Y . Le ième indice de sensibilité de premier ordre est défini par : Il s'agit d'un indice de sensibilité basé sur une décomposition de variance. Les indices de Sobol se généralisent aux ordres supérieurs (ils quantifient alors la variance attribuée à l'interaction entre paramètres) et même dans le cas de paramètres dépendants[4].
![{\displaystyle S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9dcb2a85f102157ae8e88b842262c3949983240)
Généralité
Premier ordre
Ordre total
![{\displaystyle ST_{i}=1-{\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{\sim }{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0dd13e84ca18af982c0599fba84b796a7424af)
ième ordre
Les indices généralisés
Lorsque la sensibilité du modèle doit être faite sur des séries temporelles, on peut utiliser les indices de Sobol généralisés:
![{\displaystyle GSI_{i}=\sum _{t=1}^{N}{\frac {\mathbf {Var} \left[Y(t)\right]}{\sum _{t_{2}=1}^{N}\mathbf {Var} \left[Y(t_{2})\right]}}\cdot S_{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a65cffecaf27a922cf5293703e0804b856935a7)
