Indiscernabilité topologique

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Notons ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ la relation binaire « sont indiscernables ». En notant ${\displaystyle \preceq }$ le préordre de spécialisation, on voit alors facilement que l'on a :

${\displaystyle \forall x,y\in X,\quad x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow (x\preceq y)\wedge (y\preceq x)}$

Ainsi nous rendons-nous compte que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est une relation d'équivalence : celle naturellement associée au préordre.

Soit ${\displaystyle x,y\in X}$.

Les assertions suivantes sont équivalentes :

• ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ sont indiscernables ;
• ${\displaystyle \forall \,V_{x}\in {\mathcal {V}}(x),\forall \,V_{y}\in {\mathcal {V}}(y),\;(y\in V_{x})\wedge (x\in V_{y})}$ ;
• ${\displaystyle (x\preceq y)\wedge (y\preceq x)}$ ;
• ${\displaystyle {\overline {\{x\}}}={\overline {\{y\}}}}$.