Instabilité de Darrieus-Landau

On introduit une perturbation de la nappe plane de la forme ${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{\bot }+\sigma t}}$, où ${\displaystyle \mathbf {x} _{\bot }}$ est la coordonnée transversales portée par la nappe, ${\displaystyle t}$ est le temps, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ est le vecteur d'onde de la perturbation. L'écriture de la relation de dispersion du système permet de connaître le taux de croissance temporelle de la perturbation ${\displaystyle \sigma }$ qui est donné par^[8] :

${\displaystyle {\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {r}{r+1}}\left({\sqrt {1+{\frac {r^{2}-1}{r}}}}-1\right)}$

où ${\displaystyle S_{L}}$ est la vitesse de combustion laminaire (ou la vitesse d'écoulement loin en amont de la flamme dans un référentiel fixé à la flamme), ${\displaystyle k=|\mathbf {k} |}$ et ${\displaystyle r=\rho _{u}/\rho _{b}}$ est le rapport entre la densité des gaz brûlés et celle des gaz non brûlés.

${\displaystyle r>1}$ pour une flamme, donc le taux de croissance est positif : le système est instable pour tous les nombres d'onde.

Si on prend en compte la gravité et donc la flottabilité liée au gradient de masse volumique, il peut se superposer le problème de l'instabilité de Rayleigh-Taylor. Le taux de croissance devient :

${\displaystyle {\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {r}{r+1}}\left[{\sqrt {1+\left({\frac {r^{2}-1}{r}}\right)\left(1-{\frac {g}{S_{L}^{2}rk}}\right)}}-1\right]}$

où ${\displaystyle g>0}$ correspond à une accélération gravitationnelle pour les flammes se propageant vers le bas, et inversement.

La relation ci-dessus implique que la gravité introduit une stabilité pour les flammes se propageant vers le bas lorsque ${\displaystyle k^{-1}>l_{b}=S_{L}^{2}r/g}$, où ${\displaystyle l_{b}}$ est une échelle de longueur de flottabilité caractéristique.

On définit une épaisseur de flamme par diffusion ${\displaystyle \delta _{L}=D_{T}/S_{L}}$, où ${\displaystyle D_{T}}$ est la diffusivité thermique. George H. Markstein a montré^[9] que la diffusion permet de stabiliser les flammes pour les petites longueurs d'onde ${\displaystyle k^{-1}\sim \delta _{L}}$, sauf lorsque le coefficient de diffusion du combustible et la diffusivité thermique diffèrent considérablement l'un de l'autre, ce qui conduit à ce que l'on appelle l'instabilité thermo-diffusive conduisant à des structures de Turing (en).

Au final l'instabilité de Darrieus-Landau se manifeste dans la plage ${\displaystyle \delta _{L}\ll k^{-1}\ll l_{b}}$ pour les flammes se propageant vers le bas et ${\displaystyle \delta _{L}\ll k^{-1}}$ pour les flammes se propageant vers le haut.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Darrieus–Landau instability » (voir la liste des auteurs).

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