Parmi les diverses méthodes, en voici deux : la première utilise la technique de Feynman , la seconde repose sur les intégrales de contour [ 2]
On considère pour tout réel t la fonction de ℝ+ dans ℂ définie par
u
↦
e
−
(
u
2
+
i
)
t
2
u
2
+
i
.
{\displaystyle u\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }.}
Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ+ et majorée en module par
u
↦
1
u
2
{\displaystyle u\mapsto {\tfrac {1}{u^{2}}}}
+∞ .
Il est donc possible de poser f , la fonction définie pour tout t par l'intégrale à paramètre suivante :
f
(
t
)
=
∫
0
+
∞
e
−
(
u
2
+
i
)
t
2
u
2
+
i
d
u
.
{\displaystyle f(t)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}}}{u^{2}+\mathrm {i} }}~\mathrm {d} u.}
On montre que f est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C1 sur ℝ+ * avec
∀
t
∈
R
+
∗
,
f
′
(
t
)
=
−
2
t
e
−
i
t
2
∫
0
+
∞
e
−
u
2
t
2
d
u
.
{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ^{+*},~f'(t)=-2t\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}t^{2}}\mathrm {d} u.}
Démonstration
On applique le théorème de convergence dominée .
Continuité sur ℝ et nullité à l'infini
Pour tout u + *, la fonction
R
→
C
,
t
↦
e
−
(
u
2
+
i
)
t
2
u
2
+
i
{\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }}
Pour tout réel t , la fonction
R
+
→
C
,
u
↦
e
−
(
u
2
+
i
)
t
2
u
2
+
i
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} ,\ u\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }}
mesurable .
Condition de domination :
∀
(
t
,
u
)
∈
R
×
R
+
,
|
e
−
(
u
2
+
i
)
t
2
u
2
+
i
|
≤
1
1
+
u
4
{\displaystyle \forall (t,u)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+},~\left|{{\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}}} \over {u^{2}+\mathrm {i} }}\right|\leq {\frac {1}{\sqrt {1+u^{4}}}}}
u
↦
1
1
+
u
4
{\displaystyle u\mapsto {\tfrac {1}{\sqrt {1+u^{4}}}}}
+ .
Conclusion :
f
{\displaystyle f}
Classe C1 sur ℝ+ * et valeur de la dérivée.
Pour tout u ∈ ℝ+
R
+
∗
→
C
,
t
↦
e
−
(
u
2
+
i
)
t
2
u
2
+
i
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}\rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }}
R
+
∗
→
C
,
t
↦
−
2
t
exp
[
−
(
u
2
+
i
)
t
2
]
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}\rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]},}
Pour tout t + *, la fonction
R
+
→
C
,
u
↦
−
2
t
exp
[
−
(
u
2
+
i
)
t
2
]
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} ,\ u\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}}
Condition de domination : confinons le paramètre
t
{\displaystyle t}
]
a
,
b
[
{\displaystyle ]a,b[}
0
<
a
<
b
{\displaystyle 0<a<b}
∀
(
t
,
u
)
∈
]
a
,
b
[
×
R
+
,
|
−
2
t
exp
[
−
(
u
2
+
i
)
t
2
]
|
≤
2
b
e
−
u
2
a
2
{\displaystyle \forall (t,u)\in ]a,b[\times \mathbb {R} ^{+},~\left|-2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}\right|\leq 2b~\mathrm {e} ^{-u^{2}a^{2}}}
u
↦
2
b
e
−
u
2
a
2
{\displaystyle u\mapsto 2b~\mathrm {e} ^{-u^{2}a^{2}}}
+ .
Conclusion :
f
{\displaystyle f}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
+ * et
∀
t
∈
R
+
∗
,
f
′
(
t
)
=
−
2
t
e
−
i
t
2
∫
0
+
∞
e
−
u
2
t
2
d
u
.
{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ^{+*},~f'(t)=-2t\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}t^{2}}\mathrm {d} u.}
En simplifiant l'expression de f' et en l'intégrant de 0 à +∞ , on en déduit que
∫
0
+
∞
e
−
i
t
2
d
t
=
1
π
∫
0
+
∞
1
u
2
+
i
d
u
.
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{u^{2}+\mathrm {i} }}~\mathrm {d} u.}
Démonstration
Le changement de variable v = ut t + * :
f
′
(
t
)
=
−
2
e
−
i
t
2
∫
0
+
∞
e
−
v
2
d
v
.
{\displaystyle f'(t)=-2\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-v^{2}}~\mathrm {d} v.}
L'intégrale définie est l'intégrale de Gauss , qui vaut
π
2
{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}}
f :
f
′
(
t
)
=
−
π
e
−
i
t
2
{\displaystyle f'(t)=-{\sqrt {\pi }}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}}
Par conséquent :
0
−
∫
0
+
∞
1
u
2
+
i
d
u
=
(
lim
t
→
+
∞
f
(
t
)
)
−
f
(
0
)
=
∫
0
+
∞
f
′
(
t
)
d
t
=
−
π
∫
0
+
∞
e
−
i
t
2
d
t
.
{\displaystyle 0-\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{u^{2}+\mathrm {i} }}~\mathrm {d} u=\left(\lim _{t\to +\infty }f(t)\right)-f(0)=\int _{0}^{+\infty }f'(t)~\mathrm {d} t=-{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t.}
On se sert alors de l'expression
1
u
2
+
i
{\textstyle {\frac {1}{u^{2}+\mathrm {i} }}}
u
2
−
i
u
4
+
1
{\textstyle {\frac {u^{2}-\mathrm {i} }{u^{4}+1}}}
:
∫
0
+
∞
u
2
u
4
+
1
d
u
=
∫
0
+
∞
1
u
4
+
1
d
u
=
π
2
2
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{u^{2} \over u^{4}+1}~\mathrm {d} u=\int _{0}^{+\infty }{1 \over u^{4}+1}~\mathrm {d} u={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}
pour en déduire que
∫
0
+
∞
e
−
i
t
2
d
t
=
π
2
1
−
i
2
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\mathrm {i} }{2}}}
Il est aussi possible d'intégrer
f
(
z
)
=
exp
(
−
z
2
)
{\displaystyle f(z)=\exp(-z^{2})}
bord du secteur circulaire
T
R
{\displaystyle T_{R}}
0
,
R
,
1
2
(
1
+
i
)
R
{\displaystyle 0,~R,~{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+\mathrm {i} )~R}
R
{\displaystyle R}
Contour utilisé pour le calcul.
∮
f
(
z
)
d
z
=
∫
0
R
e
−
t
2
d
t
⏟
I
1
(
R
)
+
∫
0
π
/
4
i
R
e
i
t
e
−
R
2
exp
(
2
i
t
)
d
t
⏟
I
2
(
R
)
−
∫
0
R
e
i
π
4
e
−
i
t
2
d
t
⏟
I
3
(
R
)
{\displaystyle \oint f(z)\,\mathrm {d} z=\underbrace {\int _{0}^{R}\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} _{I_{1}(R)}+\underbrace {\int _{0}^{\pi /4}\mathrm {i} R\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\exp(2\mathrm {i} t)}\,\mathrm {d} t} _{I_{2}(R)}-\underbrace {\int _{0}^{R}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t} _{I_{3}(R)}}
Intéressons nous d'abord à I 2
|
I
2
(
R
)
|
≤
∫
0
π
/
4
R
e
−
R
2
cos
(
2
t
)
d
t
=
∫
0
π
/
2
R
2
e
−
R
2
cos
u
d
u
{\displaystyle |I_{2}(R)|\leq \int _{0}^{\pi /4}R\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\cos(2t)}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {R}{2}}\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\,\mathrm {d} u}
après un changement de variable u = 2t
[
0
,
π
2
]
{\displaystyle \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right]}
cos donne
∀
u
∈
[
0
,
π
2
]
,
1
−
2
π
u
≤
cos
u
≤
1
{\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad 1-{\dfrac {2}{\pi }}u\leq \cos u\leq 1}
donc
∀
u
∈
[
0
,
π
2
]
,
e
−
R
2
cos
u
≤
e
R
2
(
2
π
u
−
1
)
{\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad \mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\leq \,\mathrm {e} ^{R^{2}\left({\frac {2}{\pi }}u-1\right)}}
donc
∫
0
π
/
2
R
2
e
−
R
2
cos
u
d
u
≤
π
4
R
(
1
−
e
−
R
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {R}{2}}\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\,\mathrm {d} u\leq {\dfrac {\pi }{4R}}\left(1-\mathrm {e} ^{-R^{2}}\right)}
Le théorème des gendarmes donne ainsi
lim
R
→
+
∞
I
2
(
R
)
=
0
{\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }I_{2}(R)=0}
intégrale de Gauss ,
lim
R
→
+
∞
I
1
(
R
)
=
π
2
{\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }I_{1}(R)={\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}}
lim
R
→
+
∞
I
3
(
R
)
=
e
i
π
4
∫
0
+
∞
e
−
i
t
2
d
t
{\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }I_{3}(R)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t}
La fonction f est entière donc le théorème intégral de Cauchy assure que
∮
f
(
z
)
d
z
=
0.
{\displaystyle \oint f(z)\,\mathrm {d} z=0.}
Dès lors,
e
i
π
4
∫
0
+
∞
e
−
i
t
2
d
t
=
π
2
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t={\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}}
donc
∫
0
+
∞
e
−
i
t
2
d
t
=
e
−
i
π
4
π
2
=
π
2
1
−
i
2
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}{\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}={\sqrt {\dfrac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\mathrm {i} }{2}}}
Remarque
Un calcul identique montre que plus généralement, pour tout nombre complexe β partie réelle appartient à [0 ; 1[ ,
∫
0
+
∞
t
β
e
−
i
t
2
d
t
=
e
−
i
π
4
(
β
+
1
)
Γ
(
β
+
1
2
)
2
,
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }t^{\beta }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}(\beta +1)}{\dfrac {\Gamma \left({\frac {\beta +1}{2}}\right)}{2}},}
où Γ fonction gamma . En adaptant le choix du contour, on peut même démontrer cette égalité pour
R
e
(
β
)
∈
]
−
1
,
1
[
{\displaystyle \mathrm {Re} (\beta )\in \left]-1,1\right[}
( voir supra ) , équivaut au calcul du § « Exemple » de l'article sur le théorème intégral de Cauchy . .svg)
.svg)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}\rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0579b30702a6f34ff14403a711534edf31dedd9a)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} ,\ u\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aad8b540e21010bf1d7e5559a19cdee043cddbe)
![{\displaystyle ]a,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b51ec208e9582e11a4f340a42d4f17fb4748fcb)
![{\displaystyle \forall (t,u)\in ]a,b[\times \mathbb {R} ^{+},~\left|-2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}\right|\leq 2b~\mathrm {e} ^{-u^{2}a^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4917758dba210088c9bd4c76596ba25a9809cc)
![{\displaystyle 2(I+J)={\sqrt {2}}\left[\arctan(u{\sqrt {2}}-1)+\arctan(u{\sqrt {2}}+1)\right]_{0}^{+\infty }=\pi {\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca603a17a467e83e7b2453e9394f857877125c0c)
![{\displaystyle \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df4de95bf04c0f95cbc80d2bcf31dd19b178aec)
![{\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad 1-{\dfrac {2}{\pi }}u\leq \cos u\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044f05a80bafa31729ab647ddbcfd24164427906)
![{\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad \mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\leq \,\mathrm {e} ^{R^{2}\left({\frac {2}{\pi }}u-1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd2d85b63f15d5f9aae54b76f2260783501a97c)
![{\displaystyle \mathrm {Re} (\beta )\in \left]-1,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d5a8b5b2809b0839201a2c4777648d1b5755ef)
