Intégrale de Sievert

L'intégrale de Sievert est définie comme suit :

${\displaystyle \forall x\geqslant 0,\ \forall \Theta \in \left[0,{\tfrac {\pi }{2}}\right[,\quad F(x,\Theta )=\int _{0}^{\Theta }{\mathrm {e} ^{-x\sec(\theta )}}\,\mathrm {d} {\theta }.}$

Liens avec d'autres fonctions spéciales

L'intégrale de Sievert est la fonction de Bickley-Naylor d'ordre 1 :

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\mathrm {e} ^{-x\sec(\theta )}}\,\mathrm {d} {\theta }=\operatorname {Ki} _{1}(x)=\int _{x}^{+\infty }K_{0}(t)\,\mathrm {d} t.}$

On peut développer l'intégrale de Sievert en fonction des exponentielles intégrales :

${\displaystyle \int _{0}^{\Theta }{\mathrm {e} ^{-x\sec(\theta )}}\,\mathrm {d} {\theta }=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\mathrm {e} ^{-x\sec(\theta )}}\,\mathrm {d} {\theta }-\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}\cos ^{2n+1}(\Theta )\mathrm {E} _{2n+2}(x\sec(\Theta )).}$

Équivalents

${\displaystyle \int _{0}^{\Theta }{\mathrm {e} ^{-x\sec(\theta )}}\,\mathrm {d} {\theta }\ {\underset {\overset {x\longrightarrow +\infty }{}}{\sim }}\ {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {erf} \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\Theta \right).}$