Inégalité d'Olech-Opial

L'inégalité d'Olech-Opial s'énonce ainsi:

On donnera la démonstration de Mallows, plus courte que les originales^[1]. On pose ${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}|f'(t)|\mathrm {d} t}$, de sorte que ${\displaystyle \forall x\in [0,a],|f(x)|\leqslant g(x)}$. Ainsi :

${\displaystyle \int _{0}^{a}\left|f(x)f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\leqslant \int _{0}^{a}g(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\frac {g(a)^{2}}{2}}.}$

Or, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :

${\displaystyle g(a)^{2}=\left(\int _{0}^{a}|f'(t)|\mathrm {d} t\right)^{2}=\left(\int _{0}^{a}1\times |f'(t)|\mathrm {d} t\right)^{2}\leqslant \int _{0}^{a}\mathrm {d} t\times \int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\mathrm {d} t=a\int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\mathrm {d} t.}$

ce qui permet de conclure.

Opial prouve l'inégalité en 1960^[2] et Olech montre qu'elle reste valide dans des conditions plus faibles (pour f' non plus continue mais seulement de carré Lebesgue-intégrable^[3],[4]). Beesack^[5] et Levinson^[6] sont parmi les premiers à donner des démonstrations plus simples de l'inégalité, ce dernier étendant le résultat aux fonctions à valeurs complexes.