Inégalité de Bernoulli

En analyse, l'inégalité de Bernoulli — portant le nom du mathématicien Jacques Bernoulli — énonce que :

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx

pour tout entier^[1] $n > 1$ et tout réel $x$ supérieur ou égal à $-1$ . De plus, l'inégalité ci-dessus est stricte si $x$ est non nul et seulement dans ce cas.

Par récurrence

Soit un réel $x\in [-1,0[\;\cup \;]0,+\infty [$ . Montrons l'inégalité stricte pour tout entier $n > 1$ , par récurrence sur $n$ .

Initialisation : $(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}>1+2x$ donc la propriété est vraie pour $n = 2$ .
Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que $(1+x)^{k}>1+kx$ et montrons que la propriété est vraie au rang suivant $k + 1$ , c'est-à-dire montrons que $(1+x)^{k+1}>1+(k+1)x$ .
En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par $1 + x$ (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : $(1+x)^{k+1}=(1+x)^{k}(1+x)\geqslant (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^{2}>1+(k+1)x$ .
Conclusion : la propriété est vraie au rang $2$ et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier $n\geqslant 2$ .

Remarquons enfin que si $x=0$ alors

(1+0)^{n}=1^{n}=1=1+n\times 0

pour tout entier $n\geqslant 2$ . Il y a donc inégalité stricte si, et seulement si, $x\neq 0$ .

Utilisant la formule du binôme et la formule des séries géométriques

D'après la formule du binôme, si $x > 0$ , $(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}+\cdots +x^{n}>1+nx$

et d'après la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique, si $-1\leqslant x<0$ : $n>1+(1+x)+\dots +(1+x)^{n-1}={\frac {1-(1+x)^{n}}{-x}}$ , d'où $(1+x)^{n}>1+nx$ .

Utilisant la notion de convexité

La courbe d'une fonction strictement convexe se trouve strictement au-dessus de ses tangentes, sauf au point de contact.

Plus précisément, si $f$ est strictement convexe dérivable sur un intervalle $I$ et $x_{0}$ un point de $I$ , alors : $\forall x\in I\backslash \{x_{0}\}:f(x)>f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$ .

Appliquant ceci à $f(x)=(1+x)^{n}$ qui est bien strictement convexe sur $[-1,+\infty [$ pour $n>1$ car $f'(x)=n(1+x)^{n-1}$ est strictement croissante sur cet intervalle, en prenant $x_{0}=0$ on obtient bien $(1+x)^{n}>1+nx$ .

Généralisation

Exposant étendu à un réel >1

Pour tout réel $r > 1$ et tout réel $x$ supérieur ou égal à $-1$ , on a encore :

(1+x)^{r}\geq 1+rx

.

avec égalité si, et seulement si, $x$ est nul. La démonstration par convexité fonctionne de la même façon, mais on peut effectuer la démonstration élémentaire suivante :

Démonstration par étude des variations de la différence

Cette fois c'est $r$ qu'on fixe (strictement supérieur à $1$ ), et l'on étudie les variations de la fonction $f$ définie sur $D = [-1, +\infty[$ par :

f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)

,

le but étant de montrer que $f (x) > 0$ pour tout $x$ non nul appartenant à $D$ .

Les deux premières dérivées de $f$ sur $]-1, +\infty[$ sont données par :

f'(x)=r\left(1+x\right)^{r-1}-r=r\left(\left(1+x\right)^{r-1}-1\right)

,

f''(x)=r(r-1)\left(1+x\right)^{r-2}>0

donc $f'$ est nulle en $0$ et strictement croissante. Elle est donc strictement négative sur $]-1, 0[$ et strictement positive sur $]0, +\infty[$ .

Par conséquent, la fonction $f$ (continue en $0$ et $-1$ ) est strictement décroissante sur $[-1, 0]$ et strictement croissante sur $[0, +\infty[$ .

Comme elle s'annule en $0$ , on a donc bien $f > 0$ sur $\left[-1,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[$ .

Cas d'un réel strictement compris entre 0 et 1

Pour tout réel $r\in ]0,1[$ et tout réel $x$ supérieur ou égal à $-1$ , on a cette fois ^[2]:

(1+x)^{r}\leqslant 1+rx

.

La fonction $f$ définie par $f(x)=(1+x)^{r}$ est cette fois strictement concave sur $[-1,+\infty [$ car $f''(x)=r(r-1)(1+x)^{r-2}<0$ sur $]-1,+\infty [$ , d'où le changement de sens de l'inégalité.

Utilisations

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée comme lemme pour démontrer que pour tout réel $q > 1$ , la limite de la suite géométrique $(q n)$ est égale à $+\infty$ .

Elle peut aussi être utilisée pour démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : ${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$ ^[2].