Inégalité de Hardy

On a une version générale de l'inégalité de Hardy avec poids^[3] : ^:§329

• Si ${\displaystyle \alpha +{\tfrac {1}{p}}<1}$, alors

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(y^{\alpha -1}\int _{0}^{y}x^{-\alpha }f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{p}\,\mathrm {d} y\leqslant {\frac {1}{\left(1-\alpha -{\frac {1}{p}}\right)^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x}$

• Si ${\displaystyle \alpha +{\tfrac {1}{p}}>1}$, alors

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(y^{\alpha -1}\int _{y}^{\infty }x^{-\alpha }f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{p}\,\mathrm {d} y\leqslant {\frac {1}{\left(\alpha +{\frac {1}{p}}-1\right)^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x.}$

Dans le cas multidimensionnel, l'inégalité de Hardy peut être étendue aux espaces ${\displaystyle L^{p}}$, prenant la forme ^[4]

$${\displaystyle \left\|{\frac {f}{|x|}}\right\|_{L^{p}(R^{n})}\leq {\frac {p}{n-p}}\|\nabla f\|_{L^{p}(R^{n})},2\leqslant n,1\leq p<n,}$$

où ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(R^{n})}$, et où la constante ${\displaystyle {\frac {p}{n-p}}}$ est optimale.

Un changement de variables donne $${\displaystyle \left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)^{p}\ \mathrm {d} x\right)^{1/p}=\left(\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}f(sx)\,\mathrm {d} s\right)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p},}$$ qui est inférieur ou égal à ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(sx)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\,\mathrm {d} s}$ par l'inégalité intégrale de Minkowski. Enfin, par un autre changement de variables, la dernière expression est égale à $${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}s^{-1/p}\,\mathrm {d} s={\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}.}$$

En supposant que le côté droit soit fini, on doit avoir ${\displaystyle a_{n}\to 0}$ quand ${\displaystyle n\to \infty }$ . Par conséquent, pour tout entier positif j, il n'y a qu'un nombre fini de termes supérieurs à ${\displaystyle 2^{-j}}$. Cela permet de construire une suite décroissante ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geqslant \cdots }$ contenant les mêmes termes positifs que la suite d'origine (mais éventuellement aucun termes nuls). Puisque ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}$ pour tout n, il suffit de montrer l'inégalité pour la nouvelle suite. Cela découle directement de la forme intégrale, en définissant ${\displaystyle f(x)=b_{n}}$ si ${\displaystyle n-1<x<n}$ et ${\displaystyle f(x)=0}$ autrement. En effet, on a $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{p}}$$ et pour ${\displaystyle n-1<x<n}$, on a $${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {b_{1}+\dots +b_{n-1}+(x-n+1)b_{n}}{x}}\geqslant {\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}}$$ (la dernière inégalité équivaut à ${\displaystyle (n-x)(b_{1}+\dots +b_{n-1})\geq (n-1)(n-x)b_{n}}$, ce qui est vrai car la nouvelle suite est décroissante) et donc $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}\right)^{p}\leqslant \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)^{p}\,\mathrm {d} x.}$$