Inégalité de Kato

Soit ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ un ensemble ouvert et borné et ${\displaystyle f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$ , de sorte que ${\displaystyle \Delta f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$. On a alors^[2],[3]

${\displaystyle \Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad }$ in ${\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\Omega )}$,

où^[4]

${\displaystyle \operatorname {sgn} {\overline {f}}={\begin{cases}{\frac {\overline {f(x)}}{|f(x)|}}&{\text{si }}f\neq 0\\0&{\text{si }}f=0.\end{cases}}}$

• ${\displaystyle L_{\operatorname {loc} }^{1}}$ est espace des fonctions localement intégrable.

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