Inégalité de Schur

Soit ${\displaystyle a,b,c}$ des nombres réels strictement positifs et ${\displaystyle \lambda }$ un réel quelconque, alors^[1] :

${\displaystyle A=a^{\lambda }(a-b)(a-c)+b^{\lambda }(b-c)(b-a)+c^{\lambda }(c-a)(c-b)\geqslant 0.}$

avec égalité si et seulement si ${\displaystyle a,b,c}$ sont égaux.

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Quitte à permuter les variables, on peut supposer ${\displaystyle c\leqslant b\leqslant a}$.

• Si ${\displaystyle \lambda \geqslant 0}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}A=(a-b)\left(a^{\lambda }(a-c)-b^{\lambda }(b-c)\right)+c^{\lambda }(a-c)(b-c)\geqslant (a-b)\left(a^{\lambda }(a-c)-b^{\lambda }(a-c)\right)+c^{\lambda }(a-c)(b-c)\\A\geqslant (a-b)(a-c)(a^{\lambda }-b^{\lambda })+c^{\lambda }(a-c)(b-c)\geqslant (a-b)(a-c)(a^{\lambda }-b^{\lambda })\geqslant 0.\end{cases}}}$

Le cas d'égalité s'obtient bien pour ${\displaystyle a=b=c}$.

• Si ${\displaystyle \lambda <0}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}A=a^{\lambda }(a-b)(a-c)+(b-c)\left((a-c)c^{\lambda }-(a-b)b^{\lambda }\right)\\A\geqslant (b-c)(a-c)(c^{\lambda }-b^{\lambda })\geqslant 0.\end{cases}}}$

Le cas d'égalité s'obtient aussi pour ${\displaystyle a=b=c}$.

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Dans le cas ${\displaystyle \lambda =1}$, l'inégalité de Schur se réécrit sous les formes suivantes ^[1]:

• ${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}$ (développer ${\displaystyle A}$)
• ${\displaystyle abc\geqslant (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}$
• ${\displaystyle 9abc+(a+b+c)^{3}\geqslant 4(ab+bc+ca)(a+b+c)}$

La deuxième forme, dans le cas où ${\displaystyle a,b,c}$ sont les longueurs des côtés d'un triangle, s'écrit, compte tenu de la formule de Héron : ${\displaystyle 16S^{2}\leqslant abc(a+b+c)}$ où ${\displaystyle S}$ est l'aire du triangle.

Et compte tenu des expressions des formules des rayons ${\displaystyle R,r}$ des cercles circonscrit et inscrit : ${\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}}$ et ${\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}}$, l'inégalité de Schur est donc équivalente à l'inégalité d'Euler : ${\displaystyle R\geqslant 2r}$.