Inégalités de Newton

En mathématiques, les inégalités de Newton découvertes par le mathématicien Isaac Newton relient entre elles les fonctions symétriques élémentaires.

Soient a₁, a₂, … , a_n des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes symétriques S_k définies par

${\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}\cdot }$

Les numérateurs de ces expressions sont les fonctions symétriques élémentaires en les ${\displaystyle n}$ variables a₁, a₂, … , a_n. Le coefficient binomial au dénominateur est le nombre de termes du numérateur conformément à la définition d'une moyenne arithmétique. ${\displaystyle S_{1}}$ est la moyenne arithmétique, et ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$ la moyenne géométrique.

Alors, les inégalités de Newton s'écrivent, pour ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-1}$ et en posant ${\displaystyle S_{0}=1}$ ^[1]:

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leqslant S_{k}^{2}.}$

Ces inégalités sont strictes, sauf si tous les a_i sont égaux.

Par exemple, pour ${\displaystyle n=3}$, les inégalités de Newton s'écrivent ${\displaystyle 3(ab+bc+ca)\leqslant (a+b+c)^{2}}$ et ${\displaystyle 3abc(a+b+c)\leqslant (ab+bc+ca)^{2}}$.