Inéquation

La résolution des inéquations requiert la connaissance de quelques règles opératoires s'apparentant à celles déjà évoquées pour la résolution des équations mais avec de subtiles et fondamentales différences :

1. Transitivité de l'inégalité

Si ${\displaystyle a<b}$ et ${\displaystyle b<c}$ alors ${\displaystyle a<c}$ (propriétés valables pour deux inégalités de même nature : deux inégalités « ${\displaystyle <}$ », ou deux inégalités « ${\displaystyle >}$ » ou deux inégalités « ${\displaystyle \leqslant }$ » ou deux inégalités « ${\displaystyle \geqslant }$ »

2. On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.

Si ${\displaystyle a<b}$ alors ${\displaystyle a+c<b+c}$

3. On peut soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.

Si ${\displaystyle a<b}$ alors ${\displaystyle a-c<b-c}$

4. On peut multiplier par un même nombre strictement positif (donc différent de 0) les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.

Si ${\displaystyle a<b}$ et si ${\displaystyle c>0}$ alors ${\displaystyle ac<bc}$

Si on multiplie par un nombre strictement négatif (donc différent de 0), l'inégalité change de sens

Si ${\displaystyle a<b}$ et si ${\displaystyle c<0}$ alors ${\displaystyle ac>bc}$

5. On peut diviser par un même nombre strictement positif (donc différent de 0) les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.

Si ${\displaystyle a<b}$ et si ${\displaystyle c>0}$ alors ${\displaystyle {\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}}$

Si on divise par un nombre strictement négatif (donc différent de 0), l'inégalité change de sens

Si ${\displaystyle a<b}$ et si ${\displaystyle c<0}$ alors ${\displaystyle {\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}}$

À ces quelques règles, on ajoutera les quatre règles suivantes :

• L'inégalité est compatible avec l'addition, c'est-à-dire que l'on peut additionner membre à membre deux inégalités de même nature

Si ${\displaystyle a<b}$ et ${\displaystyle a'<b'}$ alors ${\displaystyle a+a'<b+b'}$

Mais on ne peut pas soustraire membre à membre deux inégalités de même sens (car une soustraction est une addition de l'opposé et la prise de l'opposé change le sens de l'inégalité).

• L'inégalité est compatible avec la multiplication seulement pour des nombres positifs, c'est-à-dire que l'on peut multiplier membre à membre deux inégalités constituées de nombres positifs entre deux inégalités de même sens

Si ${\displaystyle 0<a<b}$ et ${\displaystyle 0<a'<b'}$ alors ${\displaystyle aa'<bb'}$

• La prise de l'opposé ou celle de l'inverse (pour des nombres de même signe) est une fonction décroissante, c'est-à-dire qu'elle change le sens de l'inégalité.

Si ${\displaystyle a<b}$ alors ${\displaystyle -a>-b}$

Si ${\displaystyle 0<a<b}$ alors ${\displaystyle {\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}}$

Si ${\displaystyle a<b<0}$ alors ${\displaystyle {\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}}$

• L'image par une fonction monotone :

Si ${\displaystyle a<b}$ et f fonction croissante alors ${\displaystyle f(a)<f(b)}$

Si ${\displaystyle a<b}$ et f fonction décroissante alors ${\displaystyle f(a)>f(b)}$

• La règle des signes : le produit de deux quantités de même signe est positif, le produit de deux quantités de signes opposés est négatif.

• Inéquation du premier degré
• Inéquation du second degré
• Inéquation se résolvant par tableau de signes

• Relation d'ordre
• Algèbre classique

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