Limite (mathématiques élémentaires)

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On s'intéresse ici à une fonction numérique f d'une variable réelle, de domaine de définition D_f, et à un réel p « adhérent à D_f » — intuitivement il est possible de s'approcher infiniment près du point p, sans obligatoirement l'atteindre, en restant à l'intérieur du domaine de définition de f — et même, pour simplifier, tel que D_f contienne un intervalle de la forme ]p, p + h] ou [p – h, p[ pour un certain h > 0.

Ainsi, lorsque D_f est un intervalle (ouvert ou fermé) non vide dont les bornes sont a et b, on peut chercher une limite en tout point de l'intervalle fermé [a, b]. On peut aussi, par exemple, chercher la limite de la fonction ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$ en tout point de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. En revanche, on ne cherchera pas de limite en 0 pour les fonctions ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x^{2}-1}}}$ ou ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x^{4}-x^{2}-1}}}$ car 0 n'est pas adhérent au domaine de définition.

Si f est une fonction numérique et p un point de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, on dit^[1] que le réel L est la limite de f en p si :

• intuitivement : f(x) se rapproche de L à mesure que x se rapproche de p ;
• plus rigoureusement, pour tout « écart de tolérance » ε > 0, on peut trouver un « écart de confiance » δ > 0 tel que, dès que x (appartenant à D_f) est proche de p à δ près, f(x) est proche de L à ε près :${\displaystyle (x\in D_{f}~{\textrm {et}}~p-\delta \leq x\leq p+\delta )~\Rightarrow ~L-\varepsilon \leq f(x)\leq L+\varepsilon }$.

Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi proche de L que souhaité, en restreignant les valeurs de x à un intervalle suffisamment petit autour de p.

Dans ce cas, on écrit ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$.

Lorsque p appartient au domaine de définition D_f, la fonction f admet une limite L en p si et seulement si elle est continue au point p, et L est alors nécessairement égal à f(p).

Ici et dans la suite de l'article, on a fait le choix d'inégalités larges, tant pour l'« écart de confiance » (ici : ${\displaystyle |x-p|\leq \delta }$) que pour l'« écart de tolérance » (ici : ${\displaystyle |f(x)-L|\leq \varepsilon }$), mais on obtiendrait des définitions équivalentes en choisissant, pour l'un ou l'autre, une inégalité stricte^[2].

Il se peut aussi qu'au point ${\displaystyle p\,\!}$ la fonction ${\displaystyle f\,\!}$ n'ait pas de limite finie mais une limite infinie : à mesure que l'on se rapproche de ${\displaystyle p\,\!}$ la valeur de ${\displaystyle f\,\!}$ devient de plus en plus « proche » de ${\displaystyle +\infty \,\!}$ (respectivement ${\displaystyle -\infty \,\!}$), c'est-à-dire de plus en plus grande (resp. plus grande en valeur absolue mais avec un signe négatif). La formulation mathématique est alors la suivante : pour tout « seuil de tolérance » ${\displaystyle M\,\!}$ on peut trouver un « écart de confiance » ${\displaystyle \delta >0\,\!}$ tel que, dès que ${\displaystyle x\,\!}$ (appartenant à ${\displaystyle D_{f}\,\!}$) est proche de ${\displaystyle p\,\!}$ à ${\displaystyle \delta \,\!}$ près, alors ${\displaystyle f(x)\,\!}$ est plus grande (resp. plus petite) que ${\displaystyle M\,\!}$ :

${\displaystyle (x\in D_{f}~{\textrm {et}}~p-\delta \leq x\leq p+\delta )~\Rightarrow ~f(x)\geq M}$

(resp. ${\displaystyle (x\in D_{f}~{\textrm {et}}~p-\delta \leq x\leq p+\delta )~\Rightarrow ~f(x)\leq M}$)

Autrement dit, on peut rendre ${\displaystyle f(x)\,\!}$ aussi proche de ${\displaystyle \pm \infty \,\!}$ que souhaité sur un intervalle, si petit soit-il, autour de ${\displaystyle p\,\!}$.

Dans ce cas, on écrira ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=+\infty \,\!}$ (ou ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty \,\!}$).

Il arrive que le comportement local de la fonction ${\displaystyle f\,\!}$ soit différent « à gauche » de ${\displaystyle p\,\!}$ (c'est-à-dire pour les ${\displaystyle x<p\,\!}$) et « à droite » de ${\displaystyle p\,\!}$ (c'est-à-dire pour les ${\displaystyle x>p\,\!}$). Par exemple, une fonction peut admettre une limite à droite mais pas à gauche, ou alors admettre deux limites différentes de chaque côté.

On est donc amené à introduire les notions de limite à droite et à gauche ; la seule différence avec les limites épointées expliquées ci-dessus est qu'on impose la proximité de ${\displaystyle f(x)\,\!}$ avec ${\displaystyle L\,\!}$ ou ${\displaystyle \pm \infty \,\!}$ seulement d'un seul côté de ${\displaystyle p\,\!}$. Les définitions et notations correspondantes deviennent donc :

• pour la limite à gauche (par valeur inférieure) :

  ${\displaystyle \lim _{\underset {x<p}{x\to p}}f(x)=L}$ (qu'on note aussi : ${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L~\!}$) lorsque

  ${\displaystyle (x\in D_{f}~{\textrm {et}}~p-\delta \leq x<p)~\Rightarrow ~L-\varepsilon \leq f(x)\leq L+\varepsilon }$

  ${\displaystyle \lim _{\underset {x<p}{x\to p}}f(x)=+\infty }$ (qu'on note aussi : ${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=+\infty ~\!}$) lorsque

  ${\displaystyle (x\in D_{f}~{\textrm {et}}~p-\delta \leq x<p)~\Rightarrow ~f(x)\geq M}$

• pour la limite à droite (par valeur supérieure) :

  ${\displaystyle \lim _{\underset {x>p}{x\to p}}f(x)=L}$ (qu'on note aussi : ${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L~\!}$) lorsque

  ${\displaystyle (x\in D_{f}~{\textrm {et}}~p<x\leq p+\delta )~\Rightarrow ~L-\varepsilon \leq f(x)\leq L+\varepsilon }$

  ${\displaystyle \lim _{\underset {x>p}{x\to p}}f(x)=+\infty }$ (qu'on note aussi : ${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=+\infty ~\!}$) lorsque

  ${\displaystyle (x\in D_{f}~{\textrm {et}}~p<x\leq p+\delta )~\Rightarrow ~f(x)\geq M}$

Les notions de limites à droite et à gauche sont moins restrictives que la notion classique de limite « bilatérale » : une fonction peut avoir une limite à gauche et une limite à droite sans avoir de limite ni même de limite épointée. En fait on a les propriétés suivantes :

• pour une fonction non définie en p : une fonction a une limite en ${\displaystyle p\,\!}$ si et seulement si elle a une limite (éventuellement infinie) à gauche ${\displaystyle L_{g}\,\!}$ et une limite à droite ${\displaystyle L_{d}\,\!}$ et qu'elles sont égales : ${\displaystyle L_{g}=L_{d}\,\!}$
• pour une fonction définie en p : une fonction a une limite en ${\displaystyle p\,\!}$ si et seulement si^[1] elle a une limite à gauche ${\displaystyle L_{g}\,\!}$ et une limite à droite ${\displaystyle L_{d}\,\!}$ et qu'elles sont égales toutes deux à f(p) : ${\displaystyle L_{g}=L_{d}=f(p)\,\!}$

Exemple :

Pour la fonction ci-contre, on a :

${\displaystyle f(0)=-1,\qquad \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=1,\qquad \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=-1}$.

Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite du tout en un point.

Par exemple, ${\displaystyle x\mapsto \sin(1/x)}$ n'a pas de limite en 0.

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On s'intéresse ici, non plus au comportement local d'une fonction en un point réel fini mais à son comportement « aux limites », soit quand ${\displaystyle x\,\!}$ croît indéfiniment (limite en ${\displaystyle +\infty }$) soit quand ${\displaystyle x\,\!}$ décroît indéfiniment (limite en ${\displaystyle -\infty }$). Cette étude ne concerne donc que des fonctions définies au voisinage de ${\displaystyle +\infty }$ ou ${\displaystyle -\infty }$, c'est-à-dire des fonctions dont l'ensemble de définition contient un intervalle de la forme [M, ${\displaystyle +\infty }$[ ou ]${\displaystyle -\infty }$, m].

On peut noter que dans ce cadre la notion de limite à droite ou à gauche n'a plus de sens ; en fait les limites en ${\displaystyle +\infty }$ sont toujours des limites à gauche et les limites en ${\displaystyle -\infty }$ sont toujours des limites à droite.

Dire que la fonction ${\displaystyle f\,\!}$ admet la limite finie ${\displaystyle L\,\!}$ en ${\displaystyle +\infty }$ revient à dire que ${\displaystyle f(x)\,\!}$ se rapproche de ${\displaystyle L\,\!}$ à mesure que ${\displaystyle x\,\!}$ grandit (ou « tend vers plus l'infini »).

Mathématiquement, cela se traduit par le fait que pour tout « écart de tolérance » ${\displaystyle \varepsilon >0\,\!}$ on peut donner un « seuil de confiance » ${\displaystyle M>0\,\!}$ au-delà duquel la fonction restera dans l'intervalle de tolérance, de centre ${\displaystyle L\,\!}$ et de rayon ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$ : ${\displaystyle (x\in D_{f}~{\textrm {et}}~x\geq M)~\Rightarrow ~L-\varepsilon \leq f(x)\leq L+\varepsilon }$

Autrement dit, on peut rendre ${\displaystyle f(x)\,\!}$ aussi proche de ${\displaystyle L\,\!}$ que souhaité à partir d'un certain seuil, si lointain soit-il.

Dans ce cas on écrira ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=L\,\!}$.

Tout ceci s'adapte facilement dans le cas d'une limite en ${\displaystyle -\infty }$ : on dit que ${\displaystyle f(x)\,\!}$ tend vers ${\displaystyle L\,\!}$ quand ${\displaystyle x}$ tend vers ${\displaystyle -\infty }$ si pour un écart ${\displaystyle \varepsilon >0\,\!}$ on peut trouver un seuil ${\displaystyle M<0\,\!}$ tel que : ${\displaystyle (x\in D_{f}~{\textrm {et}}~x\leq M)~\Rightarrow ~L-\varepsilon \leq f(x)\leq L+\varepsilon }$ et on écrira alors ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L\,\!}$.

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty }$

Idée intuitive : On dit que ${\displaystyle f(x)}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$ quand ${\displaystyle x}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$ lorsque pour ${\displaystyle x}$ suffisamment grand, ${\displaystyle f(x)}$ peut devenir aussi grand que l'on veut.

Formulation mathématique : On dit que ${\displaystyle f(x)}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$ quand ${\displaystyle x}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$ lorsque quel que soit le réel ${\displaystyle M}$, il existe ${\displaystyle x_{0}}$ tel que quel que soit ${\displaystyle x\geq x_{0}}$, ${\displaystyle f(x)\geq M}$.

Notation : Dans ce cas, on note ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty }$.

Les autres cas sont résumés par les trois graphiques suivants :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty }$

Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite en l'infini. La fonction sinus en est un exemple typique.