En 1953, il démontra que tout nombre parfait impair est de la forme 12k + 1 ou 36k + 9. Il a introduit les polynômes de Touchard, qui interviennent en combinatoire et en théorie des probabilités. Il est aussi connu pour avoir résolu le problème des ménages.
Les nombres de Catalan[1]

sont reliés par l'identité algébrique suivante, attribuée à Touchard[2] :
.
En utilisant la fonction génératrice de Catalan
,
on peut démontrer par manipulations algébriques de séries génératrices que l'identité de Touchard est équivalente à l'équation fonctionnelle satisfaite par C :
.