Barran est le fils de John Barran (1844–1886) et le petit-fils de John Barran (1er baronnet). Sa mère est Eliza Henrietta Nicholson, fille d'Edward Nicholson. Il fait ses études à Winchester College et au Trinity College, Cambridge, et succède à son grand-père comme baronnet en 1905.
Il épouse, à Emmanuel Episcopal Church, Boston le , Alice Margarita Parks, fille du révérend Leighton Parks, recteur de l'église Emmanuel[1]. Ils ont trois fils et une fille. Après la mort de sa première femme en 1939, il se remarie en 1946 à Esther Frances Fisher, fille de Francis Marion Bates Fisher.
Son fils aîné, John Leighton Barran (1904–1974) lui succède. Son plus jeune fils, David Barran, est un homme d'affaires de premier plan et est directeur général et président de Shell.
