Josh Moorby naît et grandit à Te Awamutu, une petite ville de la région de Waikato. Il possède des origines maori[4]. Durant sa jeunesse, il pratique le rugby à XV mais n'obtient aucune sélection avec les équipes nationales de jeunes[5].
En 2018, alors qu'il joue un tournoi de rugby à sept avec Waikato, il est repéré par Southland qui le recrute. Il commence donc sa carrière en rugby à XV en 2019 avec cette équipe en National Provincial Championship (NPC), pour qui il joue jusqu'en 2021[4],[6].
Il intègre la franchise des Highlanders pour la saison 2021 de Super Rugby afin de pallier une blessure[6],[7].
En 2022, il signe un contrat d'un an avec les Hurricanes. Avec cette nouvelle équipe, il fait ses débuts en Super Rugby à l'âge de 23 ans. Il incarne alors le renouveau offensif de cette équipe après les départs de Ben Lam, Beauden Barrett ou encore Matt Proctor[5]. Il est la révélation des Hurricanes lors de la saison 2022, marquant neuf essais en dix matchs[4],[8].
Très en vue en Super Rugby, il est alors sélectionné avec les Māori de Nouvelle-Zélande et obtient sa première apparition durant l'été 2022, contre l'Irlande[5],[8]. En 2024, il prend part à une double confrontation contre le Japon XV avec les Māori[9].
Ensuite, après 21 essais en 38 rencontres avec les Hurricanes[2], et un passage à Northland, il rejoint Waikato[4],[10]. Après un court passage avec cette province, il la quitte la même année pour rejoindre le Montpellier HR, en France[11]. Il aurait pourtant été incité à rester en Nouvelle-Zélande par le sélectionneur des All Blacks, Scott Robertson. Il n'a cependant jamais été sélectionné dû à la forte concurrence à son poste, avec la présence de Damian McKenzie, Shaun Stevenson, Will Jordan ou encore Jordie Barrett[5]. Moorby signe un contrat de deux ans avec le club montpelliérain[12]. Il dispute son premier match sous ses nouvelles couleurs en Top 14 contre la Section paloise[13], puis marque son premier essai face à l'Aviron bayonnais[14].
Après seulement une saison en France, il écourte son contrat et retourne à Waikato pour finir l'année 2025. Il s'engage dans le même temps avec les Hurricanes pour une durée de deux ans, à partir de la saison 2026[15],[16].