Lemme d'Ehrling

Soit ( X , || · || _X ), ( Y , || · || _Y ) et ( Z , || · || _Z ) trois espaces de Banach. Suppose que:

• X est plongé de manière compacte dans Y : i.e. X ⊆ Y et chaque suite ||·||_X - bornée dans X a une sous-suite || · || _Y - convergente ; et
• Y est plongé de manière continue dans Z : i.e. Y ⊆ Z et il existe une constante k telle que ||y||_Z ≤ k ||y||_Y pour chaque y ∈ Y.

Alors, pour tout ε > 0, il existe une constante C(ε) telle que, pour tout x ∈ X,

${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq \varepsilon \|x\|_{X}+C(\varepsilon )\|x\|_{Z}}$

Soit Ω ⊂ R ⁿ est ouvert et borné, et soit k ∈ N. Supposons que l'espace de Sobolev H^k(Ω) est plongé de manière compacte dans H^k−1(Ω). Alors les deux normes suivantes sur H^k(Ω) sont équivalentes :

${\displaystyle \|\cdot \|:H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|:={\sqrt {\sum _{|\alpha |\leq k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}}$

et

${\displaystyle \|\cdot \|':H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|':={\sqrt {\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}.}$

Pour le sous-espace de H^k(Ω) constitué des fonctions de Sobolev à trace nulle (celles qui sont zéro sur la frontière de Ω°, la norme L² de u peut être omise pour donner une autre norme équivalente.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ehrling's lemma » (voir la liste des auteurs).

• Portail de l'analyse