Lemme de Céa

Soit ${\displaystyle V}$ un espace de Hilbert réel muni de la norme ${\displaystyle \|\cdot \|.}$ Soit ${\displaystyle a:V\times V\to \mathbb {R} }$ une forme bilinéaire telle que :

• ${\displaystyle |a(v,w)|\leq \gamma \|v\|\,\|w\|}$ pour une constante ${\displaystyle \gamma >0}$ et pour tout ${\displaystyle v,w}$ dans ${\displaystyle V}$ (continuité)
• ${\displaystyle a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}}$ pour une constante ${\displaystyle \alpha >0}$ et tout ${\displaystyle v}$ dans ${\displaystyle V}$ (coercivité ou ${\displaystyle V}$-ellipticité).

Soit ${\displaystyle L:V\to \mathbb {R} }$ une forme linéaire continue.

Cherchons un élément ${\displaystyle u}$ dans ${\displaystyle V}$ tel que

${\displaystyle a(u,v)=L(v)\,}$ pour tout ${\displaystyle v}$ dans ${\displaystyle V.\,}$

Considérons le même problème dans le sous-espace de dimension finie ${\displaystyle V_{h}}$ de ${\displaystyle V,}$ tel que, ${\displaystyle u_{h}\in V_{h}}$ vérifie

${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)\,}$ pour tout ${\displaystyle v}$ dans ${\displaystyle V_{h}.\,}$

Le Théorème de Lax-Milgram garantit l'existence et l'unicité d'une solution pour chacun de ces deux problèmes. Le lemme de Céa est l'inégalité suivante

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\frac {\gamma }{\alpha }}\|u-v\|}$ pour tout ${\displaystyle v}$ dans ${\displaystyle V_{h}.}$

Autrement dit ${\displaystyle u_{h}}$ est « la meilleure » approximation de ${\displaystyle u}$ dans ${\displaystyle V_{h},}$ à une constante multiplicative ${\displaystyle \gamma /\alpha }$ près.

La preuve est immédiate

${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)+a(u-u_{h},v-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \gamma \|u-u_{h}\|\|u-v\|}$ pour tout ${\displaystyle v}$ dans ${\displaystyle V_{h}.}$

Nous avons utilisé la ${\displaystyle a}$-orthogonalité de ${\displaystyle u-u_{h}}$ et ${\displaystyle V_{h}}$

${\displaystyle a(u-u_{h},v)=0,\ \forall \ v\in V_{h}}$

qui découle directement de ${\displaystyle V_{h}\subset V}$

${\displaystyle a(u,v)=L(v)=a(u_{h},v)}$ pour tout ${\displaystyle v}$ dans ${\displaystyle V_{h}}$.

Note : Le lemme de Céa est aussi valable dans les espaces de Hilbert complexes, on considère une forme sesquilinéaire ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ au lieu d'une forme bilinéaire. L'hypothèse de coercivité devient ${\displaystyle |a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}}$ pour tout ${\displaystyle v}$ dans ${\displaystyle V}$ (Notez le module autour de ${\displaystyle a(v,v)}$).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Céa's lemma » (voir la liste des auteurs).

• (en) Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, vol. 2 (PhD thesis), coll. « Annales de l'institut Fourier 14 », 1964, 345–444 p., PDF (lire en ligne) (Article original de J. Céa)

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