Lemme de Fodor

Nous pouvons supposer que ${\displaystyle 0\notin S}$ (en supprimant 0, si nécessaire). Si le lemme de Fodor est faux, pour tout ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ il y a un club ${\displaystyle C_{\alpha }}$ tel que ${\displaystyle C_{\alpha }\cap f^{-1}(\alpha )=\emptyset }$. Soit ${\displaystyle C=\Delta _{\alpha <\kappa }C_{\alpha }}$. Les ensembles de clubs étant fermés sous intersection diagonale, ${\displaystyle C}$ est aussi club. Il existe donc ${\displaystyle \alpha \in S\cap C}$. Alors ${\displaystyle \alpha \in C_{\beta }}$ pour chaque ${\displaystyle \beta <\alpha }$, et donc il ne peut y avoir ${\displaystyle \beta <\alpha }$ tel que ${\displaystyle \alpha \in f^{-1}(\beta )}$, alors ${\displaystyle f(\alpha )\geq \alpha }$, une contradiction.

Une autre formulation du lemme de Fodor (ou Pressing-Down-lemma) est la suivante :

Pour tout arbre non spécial ${\displaystyle T}$ et une application régressive ${\displaystyle f:T\rightarrow T}$, il existe un sous-arbre non-spécial ${\displaystyle S\subset T}$ sur lequel ${\displaystyle f}$ est constante.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fodor's lemma » (voir la liste des auteurs).

• G. Fodor, Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen, Acta Sci. Math. Szeged , 17 (1956), 139-142 .
• Karel Hrbacek & Thomas Jech, Introduction à la théorie des ensembles, 3e édition, chapitre 11, section 3.
• Mark Howard, Applications du lemme de Fodor à la conjecture de Vaught . Ann. Pur et Appl. Logique 42(1): 1-19 (1989).
• Simon Thomas, Le problème de la tour d'automorphisme . Fichier PostScript à
• S. Todorcevic, Dichotomies combinatoires en théorie des ensembles . pdf à

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