Lemme de Goursat

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Soient G et G' deux groupes, H un sous-groupe de G×G' tel que les deux projections canoniques, p : H → G et p' : H → G', soient surjectives. Le noyau N de p' est un sous-groupe normal de G×{e'} (où e' désigne l'élément neutre de G') donc s'identifie à un sous-groupe normal de G ; le noyau N' de p s'identifie de même à un sous-groupe normal de G'. Avec ces identifications,

l'image de H dans G/N×G'/N' est le graphe d'un isomorphisme G/N ≃ G'/N'.

Démonstration

On vérifie d'abord que N, vu comme sous-groupe de G, est bien normal, comme image de ker(p') (normal dans H) par le morphisme surjectif p.

L'image de H dans G/N×G'/N' est l'ensemble

G'':=\{(gN,g'N')\mid (g,g')\in H\}.

Par surjectivité de p, tout élément de G/N est la première composante d'au moins un couple de G". Un tel couple est de plus unique car

{\text{si }}h_{1}=(g_{1},g'_{1}),h_{2}=(g_{2},g'_{2})\in H{\text{ et }}g_{1}N=g_{2}N{\text{ alors }}h_{1}^{-1}h_{2}\in N'{\text{ donc }}g'_{1}N'=g'_{2}N'.

De même, tout élément de G'/N' est la seconde composante d'un unique couple de G".

D'après les tests des verticales et des horizontales, G" est donc le graphe d'une bijection de G/N dans G'/N'.

Par construction, cette bijection est un morphisme de groupes.