Image directe

• Pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).}$Plus généralement, pour toute famille ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ de parties de ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}).}$
• Pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle X}$,${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2})}$et cette inclusion peut être stricte, sauf si ${\displaystyle f}$ est injective^[2].
  On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est injective si et seulement si pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f(A_{1})\cap f(A_{2})}$.

Plus généralement, pour toute famille non vide ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ de parties de ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}$.

• Toute partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ contient l'image directe de son image réciproque ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ; plus précisément^[2] :${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B\cap \mathrm {Im} (f).}$En particulier, si ${\displaystyle f}$ est surjective alors ${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}$.

On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est surjective si et seulement si pour toute partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle Y}$ on a ${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B}$.

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Toute partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ est contenue dans l'image réciproque de son image directe :${\displaystyle A\subset f^{-1}\left(f(A)\right)}$et cette inclusion peut être stricte, sauf si ${\displaystyle f}$ est injective^[2]. On peut même prouver que ${\displaystyle f}$ est injective si et seulement si pour toutes parties ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$, on a ${\displaystyle A=f^{-1}\left(f(A)\right)}$.
• Si l'on considère de plus une application ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$, alors l'image directe d'une partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ par la composée ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ est :

${\displaystyle (g\circ f)\left(A\right)=g\left(f(A)\right)}$

• Théorie naïve des ensembles
• Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)

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