Lemme de Neyman-Pearson

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Théorème : La région de rejet ${\displaystyle R_{0}}$ optimale est définie par l'ensemble des points ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ tels que

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{0})}{{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{1})}}\leq k_{\alpha }}$

où la constante ${\displaystyle k_{\alpha }}$ est telle que ${\displaystyle P(\mathbf {x} \in R_{0}|\theta _{0})=\alpha }$. À noter qu'on a les relations suivantes :

${\displaystyle P\left({\textbf {D}}_{n}\in R_{0}|\theta _{0}\right)=\alpha =\int _{R_{0}}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x}$ ;\theta _{0})\ d\mathbf {x} }

${\displaystyle P\left({\textbf {D}}_{n}\in R_{0}|\theta _{1}\right)=1-\beta =\int _{R_{0}}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x}$ ;\theta _{1})\ d\mathbf {x} }

où ${\displaystyle D_{n}=(x'_{1},\ldots ,x'_{n})}$ est l'échantillon.

Démonstration :

Montrons tout d'abord que lorsque ${\displaystyle f_{\mathcal {X}}(.;\theta )}$ est une densité bornée, il existe toujours une constante ${\displaystyle k}$ telle que

${\displaystyle P\left({\frac {{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{0})}{{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{1})}}>k{\bigg |}H_{0}\right)=\alpha }$.

En effet, lorsque ${\displaystyle k=0}$, cette probabilité vaut 1. D'autre part, cette probabilité décroit monotonément et continument vers zéro, lorsque ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. Par conséquent, il doit exister une valeur finie de ${\displaystyle k}$, appelée ${\displaystyle k_{\alpha }}$, qui satisfait l'égalité, ${\displaystyle \forall \alpha \in ]0;1[}$.

Désignons alors par ${\displaystyle R_{0}}$, le sous-ensemble de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ suivant,

${\displaystyle R_{0}\triangleq \lbrace \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}{\bigg |}{\frac {{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{0})}{{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{1})}}\leq k_{\alpha }\rbrace }$,

et soit ${\displaystyle R}$ une autre partie de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, telle que ${\displaystyle P(\mathbf {x} \in R|\theta _{0})\leq \alpha }$.

Montrons que ${\displaystyle P(\mathbf {x} \in R_{0}|\theta _{1})>P(\mathbf {x} \in R|\theta _{1})}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\mathbf {x} \in R_{0}|\theta _{1})-P(\mathbf {x} \in R|\theta _{1})&=\int _{R_{0}}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x}$ ;\theta _{1})\ d\mathbf {x} -\int _{R}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{1})\ d\mathbf {x} \\&=\int _{R_{0}\backslash R}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{1})\ d\mathbf {x} -\int _{R\backslash R_{0}}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{1})\ d\mathbf {x} \end{aligned}}}

${\displaystyle {\text{Or }}{\mathcal {L}}(\mathbf {x}$ ;\theta _{1})\geq k_{\alpha }{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{0}){\text{ sur }}R_{0}{\text{ et }}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{1})<k_{\alpha }{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{0}){\text{ en dehors}}}

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\mathbf {x} \in R_{0}|\theta _{1})-P(\mathbf {x} \in R|\theta _{1})&\geq k_{\alpha }(\int _{R_{0}\backslash R}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x}$ ;\theta _{0})\ d\mathbf {x} -\int _{R\backslash R_{0}}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{0})\ d\mathbf {x} )\\&\geq k_{\alpha }(\int _{R_{0}}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{0})\ d\mathbf {x} -\int _{R}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{0})\ d\mathbf {x} )\\\end{aligned}}}

La première intégrale vaut ${\displaystyle \alpha }$ par construction, la deuxième est majorée par ${\displaystyle \alpha }$, on obtient:

${\displaystyle P(\mathbf {x} \in R_{0}|\theta _{1})-P(\mathbf {x} \in R|\theta _{1})\geq 0}$ ce qui conclut.