Lemme du déterminant matriciel

Soit A une matrice carrée inversible et u et v des vecteurs colonnes. Alors, le lemme du déterminant matriciel stipule que

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\,\det(\mathbf {A} )\,.}$

Ici, uv ^T est le produit extérieur de deux vecteurs u et v.

Le théorème peut également être énoncé en termes de matrice complémentaire de A :

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {A} )+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {u} \,,}$

Cette formulé a l'avantage d'être vérifiée que la matrice A soit inversible ou non.

Tout d’abord, la preuve du cas particulier A = I découle de l’égalité^[3]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$

Le déterminant du membre de gauche est le produit des déterminants des trois matrices. Puisque la première et la troisième matrice sont triangulaires supérieures et ont une diagonale unitaire, leurs déterminants sont égaux à 1. Le déterminant de la matrice du milieu est la valeur recherchée. Le déterminant du membre de droite est simplement (1 + v^Tu). On obtient donc le résultat suivant :

${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} .}$

On peut alors trouver le cas général en posant u = A^-1u :

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})&=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {I} +(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\textsf {T}})\\&=\det(\mathbf {A} )\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\right).\end{aligned}}}$

Si le déterminant et l'inverse de A sont déjà connus, la formule permet de calculer rapidement le déterminant de A corrigé par la matrice uv^T. Le calcul est relativement peu coûteux car il n'est pas nécessaire de recalculer le déterminant de A + uv^T (ce qui implique des calculs coûteux). En utilisant des vecteurs unitaires pour u et/ou v, on peut manipuler individuellement les colonnes, les lignes ou les éléments^[4] de A et calculer ainsi, à moindre coût, le déterminant mis à jour en conséquence.

Lorsque le lemme du déterminant matriciel est utilisé conjointement avec la formule de Sherman-Morrison, l'inverse et le déterminant peuvent être mis à jour simultanément.

On suppose que A est une matrice inversible n × n et que U et V sont des matrices n × m. Alors

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {A} ).}$

Dans le cas particulier A = I_n, on obtient l'identité de Weinstein-Aronszajn.

Étant donné de plus une matrice inversible W de taille m × m, la relation peut également s'exprimer comme

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {W} )\det(\mathbf {A} ).}$

• La formule de Sherman-Morrison, qui montre comment mettre à jour l'inverse, A⁻¹, pour obtenir (A + uv^T)⁻¹.
• La formule de Woodbury, qui montre comment mettre à jour l'inverse, A⁻¹, pour obtenir (A + UCV^T)⁻¹.
• Le théorème inverse binomial pour (A + UCV^T)⁻¹.