Limiteur de flux (rayonnement)

En transfert radiatif, le transport d'énergie en régime stationnaire peut être décrit sous forme d'une équation de diffusion qui généralise l'équation classique valide seulement en milieu opaque. Pour cela on introduit une approximation permettant la prise en compte d'un milieu quelconque en introduisant un limiteur de flux ${\displaystyle \lambda }$ qui permet de limiter le flux radiatif ${\displaystyle \mathbf {M} }$. On écrit ainsi une nouvelle équation sous la forme :

${\displaystyle \mathbf {M} (E)=-{\frac {c}{\bar {\kappa }}}\lambda (R)\nabla E\,,\quad R=-{\frac {1}{\bar {\kappa }}}{\frac {\nabla E}{E}}}$

où

• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière ;
• ${\displaystyle {\bar {\kappa }}}$ est une coefficient de diffusion ;
• ${\displaystyle E}$ est l'énergie radiative.

Dans cette expression exacte ${\displaystyle \lambda (R)}$ n'a pas d'expression analytique et diverses lois approximatives ont été proposées :

• Levermore et Pomraning^[1]

${\displaystyle \lambda ={\frac {L(R)}{R}}}$ où ${\displaystyle L}$ est la fonction de Langevin ;

• Kershaw^[2]

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{3+{\sqrt {9+4R^{2}}}}}}$ ;

• Minerbo (implicite)^[3]

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\xi ^{2}}}-{\frac {1}{\sinh ^{2}(\xi )}}\,,\;R={\frac {L(\xi )}{\lambda }}}$ ;

• M₁ (fonction du flux adimensionné ${\displaystyle f}$)^[4]

${\displaystyle R={\frac {4A(3+A^{2})}{3(1-A^{2})^{2}}}\,,\;\lambda ={\frac {2(1-A^{2})^{2}}{(3+A^{2})^{2}}}_{,},\;A={\frac {2-{\sqrt {4-3f^{2}}}}{f}}\,,\;f={\frac {M}{cE}}}$.

• Olson et Larsen^[5]

${\displaystyle \lambda =\left[\left(3{\bar {\kappa }}\right)^{n}+{\bar {\kappa }}R\right]^{-1/n}}$

où n est quelconque, généralement pris égal à 2.

Ces lois vérifient :

• la limite diffusive classique : ${\displaystyle R\to 0\;\Rightarrow \;\lambda \to 1/3}$ ;
• la limite advective : ${\displaystyle R\to \infty \;\Rightarrow \;\lambda \to 0}$.

Elles permettent donc un calcul raisonnablement précis dans un milieu plus ou moins transparent, les méthodes précises étant beaucoup plus coûteuses et l'approximation diffusive ${\displaystyle \lambda =1/3}$ donnant des résultats médiocres.