Livre VII des Éléments d'Euclide

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Dans l'édition Heiberg (édition critique de référence depuis la fin du XIX^e siècle), le livre VII des Éléments contient :

• 23 définitions dont l'une est considérée comme une interpolation^[1],[a] ;
• 39 propositions^[2],[b].

Les définitions introduisent la notion d'unité, de diviseur et de multiple, de nombre pair ou impair, de nombre premier et de nombres premiers entre eux, … Elles se terminent par celle de nombre parfait^[3] :

1. L'unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une.
2. Un nombre est une multitude composée d'unités^[4].

La notion de multitude n'est elle même pas définie. Elle est utilisée par Euclide (ici et ensuite) dans le sens de quantité indéterminée^[5]. Euclide distingue unité et nombre. Un nombre correspond donc à un entier naturel supérieur ou égal à 2, ce qui peut conduire à certaines complications ou redondances dans les énoncés des propositions et dans leurs démonstrations^[6].

Ces trois relations sont définies en terme de mesure, notion elle-même non définie^[8]. La relation « être partie de » (un nombre) correspond, en termes modernes, à la relation « être diviseur de » (ce nombre)^[8]. La relation réciproque, « être multiple de » est en fait très peu utilisée dans les Éléments^[9]. Comme « plus petit » est à comprendre au sens strict, un nombre n'est pas partie de lui-même, alors que dans la suite des livres arithmétiques, un nombre peut se mesurer lui-même^[10]. Par ailleurs l'unité mesure tout nombre, et donc est partie de tout nombre, bien que cela ne rentre pas dans le cadre de la définition VII.3^[11]. La définition VII.4 définit étrangement la négation par le pluriel : il faut comprendre par exemple que 2 est une partie de 8 (un quart) alors que 6 est des parties de 8 (trois quarts)^[12]. On pourrait penser qu'un théorème est nécessaire, et d'ailleurs Euclide énonce, à la proposition VII.4^[12], que « Tout nombre est soit une partie soit des parties de tout nombre, le plus petit du plus grand^[13] ».

Suivent les définitions de nombre pairement pair (déf. 8), impairement pair (déf. 9), impairement impair (déf. 11). La définition 10 de nombre pairement impair est redondante avec la définition 9 et contestée^[1],[a].

Ces deux définitions sont énoncées de façon parallèle (de même que les deux définitions qui suivent de nombre composé et de nombres composés entre eux), mais, la première poserait un problème si on considèrait qu'un nombre se mesure lui-même^[16].

Euclide définit directement la relation de proportionnalité entre 4 nombres, contrairement à ce qu'il a fait au livre V, où, pour définir la relation de proportionnalité entre grandeurs, il passe par la notion intermédiaire de rapport (ou raison) définie comme une relation entre deux grandeurs^[19]. Dans le cas des nombres, la notion de rapport semble aller de soi pour Euclide^[19]. Les formulations utilisées par Euclide pour exprimer que 4 nombres (A,B,C,D) sont en proportion sont les mêmes que pour les proportions entre grandeurs^[20] :

• (A,B,C,D) sont en proportion ;
• (A,B) ont le même rapport que (C,D) ;
• (A,B) sont dans le même rapport que (C,D) ;
• comme A est relativement à B ainsi est C relativement à D.

Des notations modernes plus algébriques utilisées par les historiens sont :

• A:B :: C:D^[21], ou A:B = C:D^[22].

Par ailleurs l'asymétrie formelle de cette définition 21 (en la prenant au pied de la lettre : (4,6,8,12) sont en proportion mais (6,4,12,8) ne le seraient pas), le fait qu'elle utilise les définitions de partie, parties et multiple qui sont au sens strict (ainsi (4,4,8,8) ne seraient pas en proportion), le fait que l'unité ne soit pas un nombre, pourraient poser problème, du moins si on l'interprète comme une définition moderne^[23].

Les propositions abordent les points suivants. Des notations symboliques sont parfois utilisées pour rendre les énoncés plus lisibles :

• Algorithme d'Euclide (propositions 1 à 3)^[24].
  • L'algorithme est exposé dès la proposition 1, qui le donne comme critère pour savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
  • La proposition 2 est un problème, et l'algorithme est utilisé cette fois dans le développement, pour déterminer la plus grande commune mesure de deux nombres non premiers entre eux, en termes modernes leur PGCD^[25]. À cette occasion est obtenu comme corollaire : « si un nombre en mesure deux autres, il mesure aussi leur plus grande commune mesure^[26] », c'est-à-dire que les diviseurs communs de deux nombres divisent leur PGCD.
  • La proposition 3 généralise le procédé à plus de deux nombres^[27].
• Théorie des proportions pour les nombres (propositions 5 à 19)^[24]. Les propositions 4 à 10 ne sont utilisées que pour démontrer les propositions 11 à 19 qui donnent les résultats fondamentaux de la théorie des proportions pour les nombres^[24]. Certaines de ces propositions sont donnés ci-dessous avec des notations modernes qu'Euclide n'utilise pas^[28] :
  • Proposition 11. Si a:b :: c:d et a > c, alors a:b :: (a - c):(b - d) (s'appuyant sur les propositions 7 et 8)^[29].
  • À la proposition 12, il est démontré que si a:b :: c:d, alors a:b :: (a + c):(b + d) (s'appuyant sur les propositions 5 et 6) ; la proposition est énoncée pour des « sommes » (l n'y a en fait pas vraiment de terme pour l'addition ou la somme) quelconques^[30].
  • Proposition 13 de permutation des termes moyens. Si a:b :: c:d , alors a:c :: b:d (s'appuyant sur les propositions 9 et 10)^[31].
  • À la proposition 14, il est démontré que si a:b :: d:e, et si b:c :: e:f, alors a:c :: d:f ; la proposition est énoncée pour des nombres en quantité quelconque^[32].
  • La proposition 15 est essentiellement un cas particulier de la proposition 13 de permutation des moyens et des extrêmes, au sens où elle peut se ramener à celle-ci (l'unité est notée 1 de façon anachronique) : si 1:b :: d:e, alors 1:d :: b:e^[33].
  • Proposition 16. Elle énonce essentiellement la commutativité de la multiplication (voir la définition 16 de la section ci-dessus), et se démontre à partir de la proposition 13 via la proposition 15^[34].
  • Proposition 17. Si d = a•b et e=a•c, alors b:c :: d:e (Euclide n'utilise pas de notation pour la multiplication, voir définition 16 ; par d = a•b il faut comprendre, ici et dans la suite, que le nombre a, multipliant b produit d)^[35].
  • Proposition 18. Si d = a•c et e=b•c, alors a:b :: d:e (même remarque)^[36].
  • Proposition 19. a:b :: c:d, si et seulement si a•c=b•c (en réalité, Euclide n'utilisant pas de notation pour la multiplication, il faut faire intervenir d'autres lettres pour désigner ces deux produits). Cette proposition énonce que 4 nombres sont en proportion, si et seulement si le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, la relation qui permet aujourd'hui de définir formellement les nombres rationnels^[37].
• Représentants d'un rapport donné (propositions 20 à 22, et 33)^[24],[c].
  • La proposition 20 énonce essentiellement que si c:d :: a:b avec c et d les plus petits possible ayant même rapport que (a,b), alors c mesure a, d mesure b, et ce autant de fois. En outre ces c et d les plus petits possible sont premiers entre eux (proposition 21). Et réciproquement, s'ils sont premiers entre eux et de même rapport que (a,b), ils sont les plus petits possible parmi ceux-ci (proposition 22)^[38]. Ces trois propositions constituent un des principaux résultats du livre VII^[39].
  • La détermination d'un couple minimal dans un rapport donné n'est fournie qu'à la proposition 33^[40], où elle est posée comme problème de façon plus générale pour, une quantité quelconque de nombres^[41], et obtenue en divisant par le PGCD obtenu par l'algorithme d'Euclide (proposition VII.3 dans le cas général)^[41].
• Propriétés des nombres premiers entre eux (propositions 23 à 28)^[24],[d].
  • À la proposition 23 il est prouvé que, si c mesure a et si a est premier avec b, alors c est premier avec b^[42],[43].
  • À la proposition 24, il est démontré essentiellement que, si a et b sont premiers avec c, alors a•b est premier avec c (Euclide n'ayant pas de symbole pour le produit a•b, il introduit une nouvelle lettre d)^[44]. La démonstration procède par l'absurde : Euclide introduit un hypothétique nombre e qui mesure le produit a•b et c. Ce nombre e est premier avec a par la proposition 23 (e mesure c, c et a sont premiers entre eux). De e mesure a•b Euclide déduit un nombre f tel que e•f = a•b, d'où, par la proposition 19, e:a :: b:f. Sachant que e est premier avec a, par les propositions 21 et 20, e mesure b (d'où une contradiction). C'est-à-dire qu'en démontrant la proposition 24, Euclide a démontré au passage que, si e | ab et e premier avec a, alors e | b, soit le théorème de Gauss^[45],[e]. Euclide cependant n'explicite pas ce théorème^[46], dont un cas particulier, dit lemme d'Euclide, est donné à la proposition 30^[47].
  • La proposition 25, énonce que si deux nombres sont premiers entre eux, le carré du premier est premier avec le second^[48]. La proposition 26 énonce essentiellement que si a et b sont premiers chacun avec c et d, alors a•b est premier avec c•d.
  • À la proposition 27, Euclide déduit des deux précédentes propositions, que si deux nombres sont premiers entre eux, des puissances quelconques de ces deux nombres sont des nombres premiers entre eux. La dernière phrase de l'énoncé d'Euclide n'est pas claire : on pourrait penser, au vu de la première partie de l'énoncé, qu'Euclide ajoute la restriction, inutile, que ces puissances sont supposées identiques, mais la dernière phrase, peut-être interpolée, peut s'interpréter comme levant cette restriction, d'autant que le résultat plus général est utilisé au livre IX^[49].
  • La proposition 28 énoncé essentiellement que si a est premier avec b, alors a+b est premier avec a, et réciproquement, de même pour b^[50]. La démonstration procède par l'absurde et n'utilise pas, comme elle aurait pu le faire, la caractérisation par l'algorithme d'Euclide donnée par la proposition 1^[51].
• Propriétés des nombres premiers (propositions 29 à 32)^[24].
  • Proposition 29. Tout nombre premier est premier avec tout nombre qu'il ne mesure pas^[52].
  • Proposition 30. En la résumant : si un nombre premier mesure le produit de deux nombres, il mesure l'un de ces deux nombres^[53],[54]. On reconnait le lemme d'Euclide (si p est premier et divise ab, alors p divise a ou p divise b), cas particulier du théorème de Gauss démontré implicitement par Euclide lors de la démonstration de la proposition 24 (voir ci-dessus) et, justement, la démonstration de la proposition 30 suit d'assez près celle de la proposition 24^[55].
  • Proposition 31. Tout nombre composé est mesuré par un certain nombre premier^[56]. La démonstration d'Euclide procède par descente infinie^[57].
  • Euclide en déduit que tout nombre est soit premier, soit mesuré par un nombre premier (proposition 32)^[58].
• Propriétés du PPCM (propositions 34 à 36)^[24].
  • La proposition 34 est un problème : « étant donnés deux nombres trouver le plus petit nombre qu'ils mesurent^[59]. ». Ce plus petit nombre mesuré par deux nombres a et b est ce qui est appelé aujourd'hui le PPCM de a et b. Euclide le détermine d'abord quand a et b sont premiers entre eux : il démontre que c'est le produit de a et b. Quand a et b ne sont pas premiers entre eux, il utilise la proposition 33 qui fournit les plus petits nombres f et e ayant même rapport que a:b, obtenus en divisant par le PGCD de a et b. Alors le produit de a et e, qui est aussi le produit de b et f, fournit le PPCM, comme le démontre Euclide^[60]. Dans chacun des cas la démonstration procède par l'absurde et repose en particulier sur les propositions 21 et 20^[61].
  • La proposition 35 énonce essentiellement qu'un multiple commun de deux entiers est un multiple du PPCM.
  • La proposition 36 généralise la proposition 34 à plus de deux nombres^[62].
• Quantièmes (propositions 37 à 39)^[24].
  • Aux propositions 37 et 38, il est établi que si un nombre a est mesuré par un certain nombre b, il possède une partie de même nom que b (une partie qui est un b-ième de a en termes modernes) et réciproquement^[63].
  • La proposition 39 est un problème qui demande de trouver le plus petit nombre admettant des parties données^[64], ce qui se résout par les trois propositions précédentes^[63].

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Dans ses trois livres arithmétiques, Euclide représente les nombres par des segments de droite non gradués, ces segments étant désignés par deux lettres quand il s'agira de prendre une partie du nombre représenté, ou d'additionner les nombres représentés, et par une seule lettre sinon^[67].

Par exemple à la proposition 1, qui énonce, en substance, que si l'algorithme d'Euclide appliqué à deux nombres aboutit à l'unité, ces deux nombres sont premiers entre eux (définition 13 ci-dessus). Un schéma accompagne la démonstration (voir ci-contre). Les deux nombres sont nommés AB et CD, CD étant le plus petit, et Euclide tire partie de cette désignation : le reste de la division de AB par CD est nommé FA^[f], le reste de la division de CD par AF est nommé GC, le reste de la division de AF par GC est nommé HA, qui est l'unité^[68]. La démonstration se fait par l'absurde, et le nombre hypothétique supposé mesurer AB et CD, représenté lui aussi par un segment, mais qui n'a pas besoin d'être divisé, est nommé E^[68].

Cette représentation n'est vraiment exploitée, comme c'est le cas à la proposition 1, que dans à peu près un quart des propositions des trois livres arithmétiques^[69]. Dans les autres propositions elle ne fait que figurer la nomenclature utilisée, qui se déduit par ailleurs du texte^[69]. Il ne parait pas y avoir de souci de réalisme dans le choix des longueurs des segments^[70]. Par exemple à la proposition 39 est représentée une suite de 3 nombres A, B et C par des segments de taille croissante, mais la suite des 3 nombres D, E et F qui devrait être alors décroissante selon le texte, est représentée aussi par des segments de taille croissante^[71].

Il est possible qu'Euclide ne fasse que reprendre ainsi une tradition historique de représentation des nombres par des lignes, qui aurait déjà été adoptée au début du IV^e siècle av. J.-C. par l'école de Théodore de Cyrène, comme le suggère un passage du Théétète de Platon ^[69],[g].

Euclide n'utilise jamais les nombres figurés polygonaux, qui utilisent des marques (points ou lettres)^[72], et sont connus par la tradition néo-pythagoricienne, dans des textes dont les premiers datent du II^e siècle^[73], mais qui peuvent refléter une tradition antérieure à Euclide^[74]. Cependant, il introduit aux définitions 17 à 20 (voir ci-dessus) une terminologie d'origine géométrique^[75], nombres plans et solides, carrés et cubes, rattachée à une structure multiplicative qui, pour des raisons de dimension, ne va pas au delà de 3 facteurs^[76]. Mais la définition de la multiplication (définition 16, voir ci-dessus), par l'addition, reste arithmétique^[77]. Même là où interviennent ces définitions, les représentations des nombres restent linéaires^[77]. Au final ces dénominations procèdent surtout par analogie plutôt que de renvoyer à une véritable intuition géométrique^[77],[69]. En particulier il ne semble pas que cela puisse avoir eu une influence sur le fait qu'Euclide se limite à 3 facteurs pour certaines démonstrations générales, ni aient pu constituer une obstacle pour lui à concevoir des produits au delà de 3 facteurs, contrairement à ce qui a parfois été affirmé^[75].