Livre XI des Éléments d'Euclide

Les propositions se répartissent comme suit :

• Propriétés des droites relatives aux plans. On montre que deux droites sécantes sont coplanaires (prop.2), que deux plans sécants se coupent suivant une droite (prop.3)
• Propriétés de la perpendicularité. La prop.4 énonce qu'une perpendiculaire à deux droites sécantes est également perpendiculaire au plan contenant ces deux droites. La prop.5 énonce que trois droites sécantes perpendiculaires à une même droite en leur point commun sont coplanaires. Par un point donné d'un plan, il n'existe qu'une perpendiculaire à ce plan (prop.13).
• Propriété du parallélisme. Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles (prop.6). Deux droites parallèles sont coplanaires (prop.7). Si une droite est perpendiculaire à un plan, il en est de même de toute parallèle à celle-ci (prop.8). Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles (prop.14). Les sections de deux plans parallèles par un troisième plan sont parallèles (prop.16). Si une droite est perpendiculaire à un plan, tout plan contenant cette droite est perpendiculaire à ce plan (prop.18). Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un plan, la section commune est également perpendiculaire à ce plan (prop.19).
• Propriété des angles solides. Tout angle solide est compris sous des angles plans qui sont plus petits que quatre angles droits (prop.21). Aujourd'hui, cette propriété est directement liée à l'aire de la sphère. La construction d'angle solide est abordée dans la prop.26.
• Propriété des parallélépipèdes. La prop.25 énonce en substance que le volume d'un parallélépipède est proportionnel à sa hauteur, et la prop.32 qu'il est proportionnel à l'aire de sa base. La démonstration repose sur la théorie des proportions développée dans le Livre V. Les prop.29, 30 et 31 développent, étape par étape, le fait que les parallélépipèdes qui ont des bases égales et la même hauteur sont égaux entre eux. L'ensemble de ces propositions exprime le fait que le volume d'un parallélépipède est le produit de l'aire de sa base par la longueur de sa hauteur. Des variantes sont données par les propositions qui suivent. Le volume du prisme est évoqué dans la prop.40. Les volumes des solides plus complexes sont traités dans le Livre XII.

• Euclide et Bernard Vitrac (traduction, introduction, notes et commentaires), Les Éléments, vol. 4 : Livres XI-XIII, Paris, PUF, 2001 (ISBN 978-2-13-051927-0) ;
• Les Œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert Blanchard (1993) ;
• Euclide (trad. François Peyrard), Les œuvres d'Euclide : en grec, en latin et en français : d'après un manuscrit très-ancien qui était resté inconnu jusqu'à nos jours, vol. 3, Paris, M. Patris, 1818 (lire en ligne), livres XI à XIII des Éléments (suivis des Données d'Euclide, et de deux livres sur les cinq corps attribués à Hypsiclès, anciennement livres XIV et XV).

Documents en ligne sur le site Gallica

• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide traduction de D. Henrion, 1632
• Les Éléments d'Euclide traduction de F.Peyrard, 1804

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