Logique connexive

Dans l'Organon, Aristote développe divers raisonnements logiques. On retrouve quelques raisonnements usuels, tels que les raisonnements par l'absurde, usité par exemple ici :

« [...] il est impossible que, si A étant blanc, B doit être grand de toute nécessité, A n’étant pas blanc, B soit encore grand nécessairement. En effet, puisque, cette chose A étant blanche, il y a nécessité que cette autre chose B soit grande, et que, B étant grand, C ne soit pas blanc, il faut nécessairement, si A est blanc, que C ne le soit pas. Et, si l’on suppose deux choses dont il faut nécessairement que l’une soit par l’existence de l’autre, la seconde n’étant pas, il y a nécessité que la première ne soit pas. Donc, B n’étant pas grand, il n’est pas possible que A soit blanc ; mais, si, A n’étant pas blanc, il est nécessaire que B soit grand, il résulte, de toute nécessité, que, B n’étant pas grand, ce même B est grand : ce qui est absurde. »

— Aristote, Premiers Analytiques § 17

En utilisation le style de Fitch pour la déduction naturelle, nous pourrions résumer ce bout de démonstration ainsi, en utilisant les règles de modus ponens et de modus tollens :

${\displaystyle {\begin{aligned}1\quad &\quad \quad {\underline {(A\to B)\land (\neg A\to B)\quad }}\\2\quad &\quad \quad A\to B&{\text{simplification (1)}}\\3\quad &\quad \quad \neg A\to B&{\text{simplification (1)}}\\4\quad &\quad \quad \quad \quad {\underline {\neg B\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad }}\\5\quad &\quad \quad \quad \quad \neg A&{\text{modus tollens (2, 4)}}\\6\quad &\quad \quad \quad \quad B&{\text{modus ponens (3, 5)}}\\7\quad &\quad \quad \neg B\to B&{\text{preuve conditionnelle (4-6)}}\\8\quad &\neg (A\to B)&{\text{par l'absurde (1-7)}}\end{aligned}}}$

Dans sa démonstration, en particulier, Aristote affirme que la proposition « non-B implique B » serait absurde : « il résulte, de toute nécessité, que, B n’étant pas grand, ce même B est grand : ce qui est absurde ».

Nous pouvons analyser cette inférence anachroniquement dans le système actuel de la logique classique, où non-B implique B est invalidée si l'on peut démontrer B, ce pour deux raisons. En logique classique, toute proposition implique un démontrable quelconque, à savoir ${\displaystyle B\to (A\to B)}$. De même, la négation d'un démontrable quelconque implique toute proposition (ex falso quodlibet), à savoir ${\displaystyle B\to (\neg B\to A)}$. Dans les deux cas, on a le théorème classe ${\displaystyle B\to (\neg B\to B)}$. On appelle ce genre de phénomènes des paradoxes de l'implication matérielle (en).

Il est donc important de remarquer qu'Aristote utilise les thèses suivantes, qui admetteraient pourtant des contre-exemples en logique classique, qu'on appelle thèses d'Aristote, à savoir qu'il est absurde d'affirmer non-A implique A, et qu'il est absurde d'affirmer A implique non-A.

L'appellation « connexive » est dérivée d'une remarque donnée par Sextus Empiricus :

« Et ceux qui introduisent la notion de connexion (συνάρτησις) disent qu’un conditionnel est valide quand la contradictoire de son conséquent est incompatible avec son antécédent » »

— Sextus Empiricus, Hypotyposes Pyrrhoniennes, II, l. 10-12^[2].

La logique connexive s'inscrit toutefois, au moins au départ, dans un courant aristotélicien.

L'époque médiévale a vu plusieurs développements en logique connexive, en passant de Boèce à Robert de Melun (†1167), en passant par Abélard.

Boèce a notamment donné son nom à deux thèses, qui sont aujourd'hui considérées comme nécessaires pour qualifier une logique de connexive. Celles-ci viennent de l'extrait suivant :

« Si est A, cum sit B, est C; [...] atqui cum sit B, non est C; non est igitur A. »

— Boèce, De Syllogismo Hypothetico Libri Duo, 851B-C.

On peut ré-exprimer cela ainsi^[3] :

${\displaystyle {\begin{aligned}m\quad &A\to (B\to C)\\n\quad &A\to (B\to \neg C)\\&\neg A\end{aligned}}}$

Cela indique que Boèce considère comme contradictoires « B implique C » et « B implique non-C ». À noter que l'extrait d'Aristote précédent y ressemblait fortement, puisqu'il affirme qu'il n'est pas possible d'avoir « B implique C » et « non-B implique C ». Cet extrait de Boèce a été ensuite décliné de différentes manières, mais la formulation que nous retenons de nos jours est celle décrite précédemment, à savoir : les propositions « A implique B » et « A implique la négation de B » impliquent la négation l'une de l'autre.

Abélard souscrivait également à la logique connexive. Dans son Dialectica, celui-ci explique que les conditionnelles « si quelqu'un est un homme, il est un animal » et « si quelqu'un est un homme, il n'est pas un animal » ne peuvent être toutes deux vraies, sinon quoi nous pourrions décliner la proposition inconvéniente suivante : si quelqu'un est un homme, il n'est pas un homme^[3]. Par ailleurs, Abélard a lui-même donné son nom à deux thèses, l'un étant la deuxième d'Aristote, et l'autre étant la non-simultanéité de « A implique B » et « A implique non-B », à savoir ce qu'on formalise de nos jours comme le schéma d'axiomes ${\displaystyle \neg ((p\to q)\land (p\to \neg q))}$.

Robert de Mélun, inspiré d'Abélard, apporte également avec lui et un principe général, caractérisée par la phrase nihil ex falso accidere (trad. « rien ne descend d'une contradiction »). L'auteur anonyme de l'Ars Meliduna, basé sur les travaux de Robert de Mélun, donnait plutôt une interprétation faible de cette phrase, au sens ex impossibili nihil sequitur (d'une impossibilité rien ne suit), tandis que les Meludinenses suivaient plutôt ex falso nihil sequitur (« rien ne suit d'une proposition fausse »)^[3].

La définition contemporaine en logique formelle d'une logique connexive est un système formel qui satisfait certaines propriétés spécifiques : Les thèses d'Aristote, les thèses de Boèce, et la non-symétrie de l'implication.

Les thèses d'Aristote réfèrent à deux schémas d'axiomes. L'une dit qu'on peut toujours nier la proposition, non-A implique A ; Il s'agit donc du schéma d'axiomes ${\displaystyle \neg (\neg A\to A)}$. L'autre dit qu'on peut toujours nier la proposition, A implique non-A ; Il s'agit du schéma d'axiomes ${\displaystyle \neg (A\to \neg A)}$.

Les thèses de Boèce réfèrent à deux autres schémas d'axiomes. D'une part, que A implique B, implique toujours la négation de, A implique non-B ; Il s'agit donc du schéma d'axiomes ${\displaystyle (A\to B)\to \neg (A\to \neg B)}$. D'autre part, que A implique non-B, implique toujours la négation de, A implique B ; Il s'agit donc du schéma d'axiomes ${\displaystyle (A\to \neg B)\to \neg (A\to B)}$.

Que l'implication soit demandée de ne pas être symétrique, signifie que de A implique B, on n'a pas nécessairement que B implique A. On la décrit par l'invalidation du schéma d'axiomes ${\displaystyle (A\to B)\to (B\to A)}$. Cela permet deux choses : D'une part, à distinguer l'implication de l'équivalence logique ; D'autre part, à assurer la cohérence du système.

Estrada-González et Ramirez-Cámara identifient plusieurs desiderata^[4]. Une logique connexive est abélardienne si elle vérifie les schémas d'axiomes suivants : ${\displaystyle \neg ((A\to B)\land (\neg A\to B))}$ ; ${\displaystyle \neg ((A\to B)\land (A\to \neg B))}$. Elle est anti-paradoxe, au sens des paradoxes de l'implication matérielle, si les schémas d'axiomes suivants ne sont pas universellement valides : ${\displaystyle A\to (B\to A)}$ ; ${\displaystyle A\to (\neg A\to B)}$ ; ${\displaystyle A\to (B\to C)}$ pour un contingent ${\displaystyle A}$ et un démontrable ${\displaystyle B\to C}$. Elle est Kapsner-forte si ${\displaystyle A\to \neg A}$ est insatisfaisable, et que ${\displaystyle A\to B}$ et ${\displaystyle A\to \neg B}$ ne sont pas simultanément satisfaisables. Elle est simplificatrice si sont validés les schémas d'axiomes suivants : ${\displaystyle (A\land B)\to A}$ ; ${\displaystyle (A\land B)\to B}$. Elle est conjonction-idempotente sont les schémas d'axiomes sont valides : ${\displaystyle (A\land A)\to A}$ ; ${\displaystyle A\to (A\land A)}$.

Une logique connexive qui satisfait tous ces desiderata serait appelée totalement connexive. Cependant, aucun tel système n'a été trouvé jusqu'à aujourd'hui^[5].

Certaines sémantiques connexives ont été développées comme ${\displaystyle {\bf {MRS^{P}}}}$, ${\displaystyle {\bf {CC1}}}$, ${\displaystyle {\bf {M3V}}}$, ${\displaystyle {\bf {CN}}}$ et de nombreuses autres^[4],[6]. Les sémantiques décrites ici sont polyvalentes, avec au moins trois valeurs de vérité. Dans les sémantiques polyvalentes, une valeur désignée est une valeur de vérité qui, essentiellement, prend le rôle de la valeur ${\displaystyle {\textsf {vrai}}}$ dans la conséquence sémantique.

Tables de vérité associés à diverses sémantiques connexives

Table de vérité ${\displaystyle {\bf {MRS^{P}}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle A\lor B}$ ${\displaystyle A\to B}$ Vrai Vrai Faux− Vrai Vrai Vrai Vrai Faux+ Faux− Faux+ Vrai Faux+ Vrai Faux− Faux− Faux− Vrai Faux− Faux+ Vrai Vrai Faux+ Vrai Faux+ Faux+ Faux+ Vrai Faux+ Faux+ Faux+ Faux+ Faux− Vrai Faux− Faux+ Faux+ Faux− Vrai Vrai Faux− Vrai Faux+ Faux− Faux+ Vrai Faux− Faux+ Faux+ Faux− Faux− Vrai Faux− Faux− Faux+ L'ensemble des valeurs désignées est {Vrai}.

Table de vérité ${\displaystyle {\bf {CC1}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle A\lor B}$ ${\displaystyle A\to B}$ Vrai+ Vrai+ Faux− Vrai+ Vrai− Vrai+ Vrai+ Vrai− Faux− Vrai− Vrai+ Faux− Vrai+ Faux+ Faux− Faux+ Vrai− Faux+ Vrai+ Faux− Faux− Faux− Vrai+ Faux− Vrai− Vrai+ Faux+ Vrai+ Vrai+ Faux− Vrai− Vrai− Faux+ Vrai− Vrai− Vrai+ Vrai− Faux+ Faux+ Faux− Vrai− Faux− Vrai− Faux− Faux+ Faux+ Vrai− Faux+ Faux+ Vrai+ Vrai− Faux+ Vrai− Vrai+ Faux+ Vrai− Vrai− Faux+ Vrai+ Faux− Faux+ Faux+ Vrai− Faux+ Faux+ Vrai+ Faux+ Faux− Vrai− Faux− Faux− Faux− Faux− Vrai+ Vrai+ Faux− Vrai+ Faux− Faux− Vrai− Vrai+ Faux+ Vrai− Vrai+ Faux− Faux+ Vrai+ Faux− Faux+ Faux− Faux− Faux− Vrai+ Faux+ Faux− Vrai+ L'ensemble des valeurs désignées est {Vrai+, Vrai−}.

Table de vérité ${\displaystyle {\bf {M3V}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle A\lor B}$ ${\displaystyle A\to B}$ Vrai+ Vrai+ Faux Vrai+ Vrai+ Vrai− Vrai+ Vrai− Faux Vrai− Vrai+ Faux Vrai+ Faux Faux Faux Vrai+ Faux Vrai− Vrai+ Vrai− Vrai− Vrai+ Vrai− Vrai− Vrai− Vrai− Vrai− Vrai− Vrai− Vrai− Faux Vrai− Faux Vrai− Faux Faux Vrai+ Vrai+ Faux Vrai+ Vrai− Faux Vrai− Vrai+ Faux Vrai− Vrai− Faux Faux Vrai+ Faux Faux Vrai− L'ensemble des valeurs désignées est {Vrai+, Vrai−}.

Table de vérité ${\displaystyle {\bf {CN}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle A\lor B}$ ${\displaystyle A\to B}$ Vrai+ Vrai+ Faux Vrai+ Vrai+ Vrai+ Vrai+ Vrai− Faux Vrai− Vrai+ Vrai− Vrai+ Faux Faux Faux Vrai+ Faux Vrai− Vrai+ Vrai− Vrai− Vrai+ Vrai+ Vrai− Vrai− Vrai− Vrai− Vrai− Vrai− Vrai− Faux Vrai− Faux Vrai− Faux Faux Vrai+ Vrai+ Faux Vrai+ Vrai− Faux Vrai+ Vrai+ Faux Vrai− Vrai− Faux Faux Vrai+ Faux Faux Vrai− L'ensemble des valeurs désignées est {Vrai+, Vrai−}.

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