Loi d'inertie de Sylvester

Définitions. L'indice d'inertie (ou plus brièvement l'indice) d'une forme quadratique Q sur un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espace vectoriel V de dimension finie n est la dimension maximale des sous-espaces F de V tels que ${\displaystyle Q(v)<0}$ pour tout ${\displaystyle v\in F\setminus \{0\}}$ (où ${\displaystyle <}$ désigne la relation d'ordre stricte naturelle sur ${\displaystyle \mathbb {K} }$).

Soit q l'indice de la forme quadratique Q, et soit p la dimension maximale des sous-espaces G de V tels que ${\displaystyle Q(v)>0}$ pour tout ${\displaystyle v\in G\setminus \{0\}}$, autrement dit tels que la restriction de Q à G soit définie positive.

Le couple (p, q) s'appelle la signature de Q^[3].

L'indice d'une forme définie positive est nul ; sa signature est (n, 0). L'indice d'une forme définie négative (c'est-à-dire telle que –Q soit définie positive) est égal à n ; sa signature est (0, n).

Loi d'inertie de Sylvester — Soit Q une forme quadratique sur un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espace vectoriel V (où ${\displaystyle \mathbb {K} }$ est un corps totalement ordonné) de signature (p, q). Pour toute base ${\displaystyle (e_{i})}$ orthogonale pour Q on a

${\displaystyle p=\mathrm {card} (\{i\mid Q(e_{i})>0\}){\text{ et }}q=\mathrm {card} (\{i\mid Q(e_{i})<0\})}$.

Le rang de Q est égal à p + q ; Si de plus, ${\displaystyle \mathbb {K} }$ est quadratiquement clos, alors deux formes quadratiques sur V sont équivalentes si et seulement si elles ont même signature.

Démonstration

Soient ${\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ et ${\displaystyle e'=(e'_{1},\ldots ,e'_{n})}$ deux bases orthogonales. Désignons provisoirement par r et r' (resp. s et s' ) le nombre de vecteurs de chaque base pour lesquels Q est strictement positive (resp. strictement négative). On va d'abord montrer que r = r' et s = s'.

On note ${\displaystyle I=\{{i\mid Q(e_{i})>0\}}}$ et ${\displaystyle J=\{{j\mid Q(e'_{j})\leqslant 0\}}}$.

Alors la famille constituée des vecteurs ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle (e'_{j})_{j\in J}}$ est libre. En effet, si ${\displaystyle \sum _{i\in I}x_{i}.e_{i}+\sum _{j\in J}y_{j}.e'_{j}=0_{V}}$, le vecteur ${\displaystyle z=\sum _{i\in I}x_{i}e_{i}=-\sum _{j\in J}y_{j}e'_{j}}$ vérifie ${\displaystyle Q(z)=\sum _{i\in I}x_{i}^{2}Q(e_{i})=\sum _{j\in J}y_{j}^{2}Q(e'_{j})}$^[4]. La définition de I et J implique la nullité de tous ${\displaystyle x_{i},i\in I}$ par antisymétrie. Alors ${\displaystyle \sum _{j\in J}y_{j}.e'_{j}=0_{V}}$, d'où cette fois la nullité des ${\displaystyle y_{j},j\in J}$. L'indépendance obtenue implique ${\displaystyle \mathrm {card} I+\mathrm {card} J\leqslant n}$, soit ${\displaystyle r+(n-r')\leqslant n}$ et donc ${\displaystyle r\leqslant r'}$. Par symétrie des rôles de ${\displaystyle e}$ et ${\displaystyle e'}$, ${\displaystyle r'\leqslant r}$ et donc par antisymétrie r = r'. Le même argument montre que s = s'.

Soit maintenant F un sous-espace de dimension maximale q sur lequel Q est définie négative, et ${\displaystyle F^{\perp }}$ son sous-espace orthogonal. Comme tout vecteur v de ${\displaystyle F\cap F^{\perp }}$ vérifie ${\displaystyle Q(v)=0}$, on a ${\displaystyle F\cap F^{\perp }=0}$. Comme d'autre part ${\displaystyle \dim F+\dim F^{\perp }\geq n}$,

on a ${\displaystyle V=F\bigoplus F^{\perp }\quad {\text{(somme directe)}}}$.

On peut donc trouver une base orthogonale ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ dont les q premiers vecteurs forment une base de F et les n – q suivant une base de l'orthogonal de F. Mais ${\displaystyle Q(e_{i})\geq 0}$ pour i > q : sinon, sur l'espace ${\displaystyle F\bigoplus \mathbb {K} e_{i}}$, la forme Q serait encore définie négative, contrairement à l'hypothèse de dimension maximale pour F. D'après la première partie de la preuve, q = s ; de même, p = r.

Dans une base orthogonale, Q s'écrit donc ${\displaystyle -\sum _{i=1}^{q}c_{i}x_{i}^{2}+\sum _{i=q+1}^{q+p}c_{i}x_{i}^{2}}$

où les ${\displaystyle x_{i}}$ sont les coordonnées par rapport à cette base, les ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {K} }$ sont strictement positifs. Si ${\displaystyle \mathbb {K} }$ est quadratiquement clos, dans la base orthogonale obtenue en remplaçant ${\displaystyle e_{i}\,(1\leq i\leq p+q)}$ par ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {c_{i}}}}e_{i}}$, Q s'écrit

${\displaystyle -\sum _{i=1}^{q}x_{i}^{2}+\sum _{i=q+1}^{q+p}x_{i}^{2}}$,

ce qui montre que deux formes de même signature sont équivalentes. (La condition est nécessaire : si ${\displaystyle Q^{\prime }=Q\circ \phi }$, où ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$ est linéaire inversible, l'image par ${\displaystyle \phi }$ d'une base orthogonale pour Q' est orthogonale pour Q.)

• Une retombée de la preuve est le fait que pour un corps ordonné ${\displaystyle \mathbb {K} }$, la réduction de Gauss d'une forme quadratique, quelle que soit la façon dont on s'y prend, donne le même nombre de « carrés positifs » et de « carrés négatifs ».

On considère maintenant le cas particulier important ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$.

• En multipliant les vecteurs d'une base orthogonale par des constantes convenables, on peut supposer se ramener au cas où les ${\displaystyle e_{i}}$ tels que ${\displaystyle Q(e_{i})\not =0}$ vérifient ${\displaystyle Q(e_{i})=\pm 1}$. Par rapport à une telle base, Q s'écrit${\displaystyle -\sum _{i=1}^{q}x_{i}^{2}+\sum _{i=q+1}^{q+p}x_{i}^{2}.}$
• En termes de matrices, on a un énoncé équivalent : si A est la matrice de Q dans une base, il existe une matrice inversible P telle que${\displaystyle P^{T}AP={\begin{pmatrix}-I_{q}&0&0\\0&I_{p}&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$Autrement dit, la matrice de la forme est congruente à une matrice diagonale n'ayant que des 0, 1 et –1 sur la diagonale ; la classe de congruence est caractérisée par les entiers p et q.
• On peut dire aussi que deux formes quadratiques réelles sont équivalentes si elles ont même rang et même indice d'inertie.
• On a une décomposition orthogonale${\displaystyle V=F\oplus G\oplus \operatorname {rad} (Q)}$où
  • Q est définie négative sur F (qui est de dimension q) et définie positive sur G (qui est de dimension p).
  • Cette décomposition n'est pas unique. Elle est déterminée par le choix de F (ou celui de G).
• Ce théorème montre que l'indice d'isotropie total^[5] de Q est égal à inf(p, q) + n – r.
  Deux formes quadratiques réelles de même rang et de même indice d'isotropie total sont équivalentes au signe près.
• Compte tenu des contraintes évidentes de dimension ${\displaystyle (0\leq q\leq r\leq n)}$, il y a ${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$ classes d'équivalence de formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension n.

• La forme quadratique${\displaystyle Q(x,y,z,t)=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2},}$associée à un espace de Minkowski en relativité restreinte, a pour rang 4 et pour signature (1, 3).
• Puisque ${\displaystyle 4(xy+yz+zt+xt)=(x+y+z+t)^{2}-(x+z-y-t)^{2},}$la forme Q(x, y, z, t) = 4(xy + yz + zt + xt) est de rang 2 et a pour signature (1, 1) et pour indice 1.
• Sur l'espace des matrices réelles 2×2, le déterminant est une forme quadratique de signature (2, 2). En effet, pour a, b, c, d réels on a

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc={\frac {1}{4}}(a+d)^{2}-{\frac {1}{4}}(a-d)^{2}-{\frac {1}{4}}(b+c)^{2}+{\frac {1}{4}}(b-c)^{2}.}$

Cette forme quadratique peut être restreinte à des sous-espaces particuliers, ce qui permet de construire des isomorphismes « exceptionnels » entre groupes de Lie de petit rang.

• Sur l'espace ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$ des matrices réelles 2×2 de trace nulle, l'opposé du déterminant est une forme quadratique de signature (2, 1). En effet, une telle matrice est de la forme

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$ avec a, b, c réels, et ${\displaystyle -\det A=a^{2}+bc=a^{2}+{\frac {1}{4}}(b+c)^{2}-{\frac {1}{4}}(b-c)^{2}}$.

Le groupe ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ agit par conjugaison sur ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )}$ car la conjugaison préserve la trace. Cette action préserve le déterminant et induit un morphisme ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\to \mathrm {SO} ^{+}(2,1)}$ qui se trouve être un isomorphisme.

• Sur l'espace ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ des matrices réelles 2×2 anti-hermitiennes (matrices A telles que ${\displaystyle {\overline {A}}{}^{\mathsf {T}}=-A}$) et de trace nulle, le déterminant est une forme quadratique de signature (3, 0). En effet, une telle matrice est de la forme

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a\mathrm {i} &b+c\mathrm {i} \\-b+c\mathrm {i} &-a\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$ avec a, b, c réels, et ${\displaystyle \det A=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.

Comme ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est l'algèbre de Lie du groupe ${\displaystyle \mathrm {SU} _{2}(\mathbb {C} )}$, l'action par conjugaison de ce groupe sur son algèbre de Lie, qui préserve le déterminant, permet de construire un morphisme ${\displaystyle \mathrm {SU} _{2}(\mathbb {C} )\to \mathrm {SO} _{3}(\mathbb {R} )}$ qui se trouve être le revêtement universel du groupe des rotations de l'espace.

On peut déterminer directement la signature de la forme Q à l'aide des valeurs propres de la matrice de cette forme, M. En effet, M est diagonalisable (d'après le théorème spectral), et ce dans une base qui vérifie les conditions du théorème précédent ; on en déduit que le rang de M, et donc de Q, est le nombre de ses valeurs propres non nulles (comptées avec leur multiplicité), et que q est le nombre des valeurs propres de M strictement négatives^[6].

Concernant l'indice et la signature, plusieurs terminologies coexistent dans la communauté scientifique. Cela est rappelé en note pour l'indice. Certains auteurs appellent signature l'entier relatif p-q (différence des dimensions entre les sous-espaces "positifs" et "négatifs" maximaux).